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| − | =[[Archivo:Poster DFN.pdf|miniaturadeimagen|Póster]]=
| + | {{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo DF | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Daniel Tormos |
| − | {{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo DFN | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Daniel Tormos | + | |
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| | Fernando Madrid | | Fernando Madrid |
| | }} | | }} |
| | + | Este trabajo se centra en el estudio de la ecuación del calor para variedades de Riemann. En particular, se introduce el concepto del operador de Laplace-Beltrami y se hace el cálculo de la solución de la ecuación de difusión en <math>S^2</math>. |
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| − | __TOC__
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| − | =Funciones =
| + | [[Media:Ecuacion del calor poster.pdf|Poster ecuación del calor.]] |
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| − | Esta primera función calcula los coeficientes de Fourier de manera aleatoria en base a una función f.
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| − | <source lang: "Matlab" line>
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| − | function [coefs] = rand_coefs(f,N)
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| − | % Crea un vector de N elementos con coeficientes a_i aleatorios entre
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| − | % f(i) y -f(i).
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| − | coefs = zeros(N,1);
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| − | for i = 1:N
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| − | coefs(i) = rand*2*f(i)-f(i);
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| − | end
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| − | end
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| − |
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| − | </source>
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| − |
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| − | Esta función genera la Serie de Fourier a partir de sus coeficientes.
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| − | <source lang: "Matlab" line>
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| − | function [F] = generar_F(a,b)
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| − | % Genera una función F a partir de sus coeficientes de Fourier.
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| − | % a son los N+1 coeficientes para los elementos pares de la base
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| − | % trigonométrica en [-pi,pi], y b son los N coeficientes de los
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| − | % elementos impares.
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| − | N = length(b);
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| − | n = (1:N)'; % Vector columna
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| − | a = a(:); % Asegurar que a es columna
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| − | b = b(:); % Asegurar que b es columna
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| − | F = @(x) (a(1)/sqrt(2*pi)) + sum((a(n+1)/sqrt(pi)).*cos(n*x) + (b(n)/sqrt(pi)).*sin(n*x), 1);
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| − | end
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| − | </source>
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| − | Con esto creamos una lista de series de Fourier.
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| − | <source lang: "Matlab" line>
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| − | function [coefs, funciones] = familia_funciones(f,N,Num)
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| − | % f,N son las entradas para rand_coefs
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| − | % Num es el número de funciones de la familia
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| − | % Devuelve:
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| − | % Una lista de parejas de vectores de coeficientes a y b. Para
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| − | % obtener los coeficientes impares de la funcion 3 (por ejemplo),
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| − | % llamas coefs(3).b
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| − | % Una lista de funciones. Para obtener la función 3, llamas
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| − | % funciones{3}
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| − | coefs(Num) = struct('a',[],'b',[]);
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| − | funciones = cell(1,Num);
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| − | for i = 1:Num
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| − | coefs(i).a = rand_coefs(f,N+1);
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| − | coefs(i).b = rand_coefs(f,N);
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| − | funciones{i} = generar_F(coefs(i).a,coefs(i).b);
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| − | end
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| − | end
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| − | </source>
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| − | =Códigos=
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| − | En esta primera hacemos los cálculos de media, varianza y covarianza.
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| − | <source lang: "Matlab" line>
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| − | f1 = @(x) 1./(x.^2); f2 = @(x) 1./x; f3 = @(x) 1/sqrt(x);
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| − | N = 500;
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| − | Num = 1e5;
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| − | [coefs,funciones] = familia_funciones(f2,N,Num); % Elegir la f_i que se quiera
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| − | x1 = 1; x2 = 0.2; % Distintos puntos
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| − | Sum_1 = 0;
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| − | Sum_2 = 0;
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| − | for i =1:Num
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| − | Sum_1 = Sum_1 + funciones{i}(x1);
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| − | Sum_2 = Sum_2 + funciones{i}(x2);
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| − | end
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| − | mean1 = (1/Num)*Sum_1
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| − | mean2 = (1/Num)*Sum_2
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| − | media_metodo_A = mean1;
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| − |
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| − | S1 = 0;
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| − | S2 = 0;
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| − | C = 0;
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| − | for i =1:Num
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| − | S1 = S1 + (funciones{i}(x1)-mean1)^2;
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| − | S2 = S2 + (funciones{i}(x2)-mean2)^2;
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| − | C = C + (funciones{i}(x1)-mean1)*(funciones{i}(x2)-mean2);
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| − | end
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| − | VAR1 = (1/(Num-1))*S1
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| − | VAR2 = (1/(Num-1))*S2
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| − | COV = (1/(Num-1))*C
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| − | </source>
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| − | <source lang: "Matlab" line>
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| − | f1 = @(x) 1./(x.^(2)); f2 = @(x) 1./x; f3 = @(x) 1/sqrt(x);
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| − | N = 100;
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| − | a1 = rand_coefs(f1,N+1); b1 = rand_coefs(f1,N);
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| − | a2 = rand_coefs(f2,N+1); b2 = rand_coefs(f2,N);
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| − | a3 = rand_coefs(f3,N+1); b3 = rand_coefs(f3,N);
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| − | F1 = generar_F(a1,b1); F2 = generar_F(a2,b2); F3 = generar_F(a3,b3);
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| − | x = linspace(-pi,pi,600);
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| − | P = linspace(-pi,pi,300);
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| − |
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| − | V=zeros(1000,3);
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| − |
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| − | for i=1:1000
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| − |
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| − | for k=1:length(P)-1
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| − | V(i,1)=V(i,1)+abs(F1(P(k))-F1(P(k+1)));
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| − | end
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| − |
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| − | for k=1:length(P)-1
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| − | V(i,2)=V(i,2)+abs(F2(P(k))-F2(P(k+1)));
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| − | end
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| − |
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| − | for k=1:length(P)-1
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| − | V(i,3)=V(i,3)+abs(F3(P(k))-F3(P(k+1)));
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| − | end
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| − | a1 = rand_coefs(f1,N+1); b1 = rand_coefs(f1,N);
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| − | a2 = rand_coefs(f2,N+1); b2 = rand_coefs(f2,N);
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| − | a3 = rand_coefs(f3,N+1); b3 = rand_coefs(f3,N);
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| − | F1 = generar_F(a1,b1); F2 = generar_F(a2,b2); F3 = generar_F(a3,b3);
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| − | end
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| − | tablaResultados = table(mean(V)', min(V)', max(V)', std(V)', ...
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| − | 'VariableNames', {'Media', 'Minimo', 'Maximo', 'Desviacion Tipica' }, ...
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| − | 'RowNames', {'Funcion 1', 'Funcion 2', 'Funcion 3'});
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| − | plot(x,F1(x));
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| − | hold on
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| − | plot(x,F2(x));
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| − | plot(x,F3(x));
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| − | legend
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| − | </source>
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| | [[Categoría:EDP]] | | [[Categoría:EDP]] |
| | [[Categoría:EDP25/26]] | | [[Categoría:EDP25/26]] |
Este trabajo se centra en el estudio de la ecuación del calor para variedades de Riemann. En particular, se introduce el concepto del operador de Laplace-Beltrami y se hace el cálculo de la solución de la ecuación de difusión en [math]S^2[/math].
