Diferencia entre revisiones de «La espiral de Ekman (Grupo 16)»
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| + | \vec i & \vec j & \vec k \\ | ||
| + | \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ | ||
| + | \vec u_x & \vec u_y & \vec u_z | ||
| + | \end{vmatrix}} </math></center> | ||
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| + | En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales. | ||
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| + | 1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x. | ||
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| + | El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad. | ||
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| + | A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman: | ||
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==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)== | ==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)== | ||
==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical== | ==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical== | ||
Revisión del 21:23 2 dic 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La espiral de Ekman. Grupo 16. |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
- 1 Introducción
- 2 Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE
- 3 Determinar el valor de ϑ
- 4 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman
- 5 Campo vectorial V en varios planos horizontales
- 6 Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical
- 7 Divergencia de V
- 8 Rotacional de V
- 9 Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)
- 10 Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical
- 11 La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas
- 12 Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman
- 13 Calculo y representación del tiedro de Frenet
- 14 Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman
- 15 La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal
1 Introducción
2 Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE
El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes [math] \phi = \pi/6 [/math], nos da la siguiente expresión:
Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en [math] \phi [/math], es decir, en la latitud.
- 𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.
- 𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.
- 𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.
La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.
Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:
3 Determinar el valor de ϑ
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis. En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.
Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende [math] sgn(f) =1 [/math]
[math] \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \gt 0 [/math]
[math] u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)[/math]
[math]v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]
[math] \rightarrow z = 0 \rightarrow [/math][math] u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )[/math][math] \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )[/math]Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .
Por lo tanto, [math] ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } [/math]
4 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:
Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:
Cálculo de primeras derivadas:
Cálculo de segundas derivadas:
Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:
Sustituiyendo [math] d_{E} [/math] en la ecuación, nos queda:
Ahora se sustituye [math] d_{E} [/math] y así se confirma que se verifica [math]f = |f |[/math]
5 Campo vectorial V en varios planos horizontales
6 Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical
7 Divergencia de V
El campo está definido por: [math]\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }[/math]
Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:
[math] u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)[/math]
[math]v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math]
Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.
La divergencia horizontal del campo vectorial se define como: [math]\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0[/math]
Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.
8 Rotacional de V
El rotacional de la espiral de Ekman, describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área, es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas. En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones [math] x [/math] e [math] y [/math]:
[math]\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }[/math],
El transporte neto de masa en la capa de Ekman, se orienta perpendicularmente al viento en la superficie, debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.
El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:
En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal [math](\vec u_z = 0)[/math] y homogéneo en las direcciones horizontales. Esto significa que:
1. La variación del componente [math] v [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección x.
2. La variación del componente [math] u [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección y.
El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.
A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
9 Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)
10 Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical
11 La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas
12 Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman
La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :[math] \kappa (z) y \tau (z)[/math]
