Revisión del 19:49 11 feb 2025

1 Introducción

Joseph Fourier

En un espacio de Hilbert [math]L^2(a,b)[/math], una serie de Fourier converge en norma [math]L^2[/math] a una función real de variable real, [math]f[/math], que se puede representar mediante la base trigonométrica de Fourier como

[math] \quad f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right] [/math].

Esta representación nos permite, tomando una suma parcial de la serie, aproximar a [math] f [/math]. Sin embargo, la base trigonométrica no se presta a la aproximación de funciones de variable real y valores complejos. Esta carencia nos lleva a la base trigonométrica compleja: considerando seno y coseno complejos, somos capaces de aproximar funciones de variable real y valores complejos o reales indistintamente. Esta base, con dominio [math] [-\pi,\pi] [/math]

[math] \quad \{e^{inx}\}_{n \in \mathbb{Z}} , [/math]

será nuestro foco de atención. La obtendremos formalmente a partir de la base trigonométrica original, para luego visualizarla y comprobar su capacidad para aproximar.

2 Base trigonométrica compleja

Para obtener la base compleja, partamos de la trigonométrica. Por la fórmula de Euler, podemos reescribir coseno y seno de la forma

[math]\quad \cos\theta = \frac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta}) [/math] [math]\quad[/math] y [math]\quad[/math] [math] \sin\theta = \frac{1}{2i} (e^{i\theta} - e^{-i\theta}) [/math].

Así, en [math] [-\pi,\pi] [/math], [math]f[/math] puede representarse formalmente como

[math]\quad f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right] = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{a_n}{2}(e^{inx}+e^{-inx}) + \frac{b_n}{2i}(e^{inx}-e^{-inx}) \right] = c_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[c_n e^{inx} +c_{-n} e^{-inx} \right]=[/math][math] \sum_{n=0}^\infty c_n e^{inx} + \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{inx} =\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}, [/math]

donde [math] c_0:=\frac{a_0}{2}[/math], [math] c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2} [/math] y [math] c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2} [/math]. Decimos que este desarrollo es formal por el penúltimo paso. Notemos que estamos separando la serie en dos series.

De esta forma hemos obtenido la base trigonométrica compleja

[math]\quad \{e_n := e^{ inx }\}_{n \in \mathbb{Z}} [/math].

Términos de la base [math] \{e_n := e^{ inx }\}_{n} [/math] para [math]n \in \{-1,0,1,2\}.[/math]

Usando el producto escalar, comprobemos que es una base ortogonal

[math]\quad (e_n,e_m)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} e_n \overline{e_m} \,dx = \int_{-\pi}^{\pi} e^{inx} e^{-imx} \,dx = \int_{-\pi}^{\pi} e^{(n-m)ix} \,dx = \frac{-i}{n-m} e^{(n-m)ix} \Big|_{-\pi}^{\pi} = 0 \quad \text{si } n \neq m, \\ [/math] [math](e_n,e_n)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{(n-n)ix} \,dx = 2\pi. [/math]

Aquí fijémonos en que hemos usado el producto escalar en [math]L^2(-\pi,\pi)[/math] dado por

[math]\quad (f,g)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.2cm} \overline{g(x)} \,dx [/math].

Una observación relevante es que como la norma de cada elemento de la base es siempre [math] \sqrt{2\pi} [/math], podemos ortonormalizar dividiendo precisamente por esta constante a cada elemento de la base trigonométrica compleja.

3 Extensión impar

Nos podemos plantear cómo aproximar la siguiente función [math] f [/math]

[math] f: [0,1] \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} [/math]

[math] x \mapsto 4x(\frac{1}{2} − x)^2 + ix [/math]

Notemos que el intervalo de definición no es simétrico. Extendamos [math] f [/math] a [math] g [/math] de forma impar

[math] g: [-1,1] \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} [/math]

[math] x \mapsto \begin{cases} 4x(\frac{1}{2} + x)^2 + ix \text{ , si } x\in [-1,0]\\ 4x(\frac{1}{2} - x)^2 + ix \text{ , si } x\in [0,1] \end{cases} [/math]

Tras representar esta función FOTOOOOOOO, sólo nos falta adaptar la base al nuevo intervalo. Comprobemos que como verifica

[math] \{e^{\pi n ix }\}_{n \in \mathbb{Z}} : (E_n,E_m)_{L^2} = \int_{-1}^1 E_n\overline{E_m} \,dx = \int_{-1}^1 e^{\pi (n-m)i} \,dx = \begin{cases} \int_{-1}^1 1 dx = 2 \text{ , si } n = m, \\ 0 \text{ , si } n \neq m, \end{cases} [/math]

entonces es una base ortogonal, habiéndonos basado fuertemente en la periodicidad en el intervalo para el segundo caso. Además, podríamos ortonormalizar dividiendo por la norma común a todos los elementos, [math] \sqrt{2} [/math], por lo que podemos definir la base ortonormal

[math] \{E_n\}_{n \in \mathbb{Z}} := \{\frac{\sqrt{2}e^{\pi n ix }}{2}\}_{n \in \mathbb{Z}}. [/math]

Para realizar las aproximaciones, necesitamos los coeficientes de cada elemento que consideremos, que pueden obtenerse por ortonormalidad de la base mediante el producto escalar ya que

[math] f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_nE_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_ne^{2 \pi n i} \quad , \quad C_n = (f,E_n)_{L^2} = \int_0^1 f(x) \overline{E}_n(x) \,dx \in \mathbb{C}. [/math]

Podemos estimar estos coeficientes [math] C_n [/math] numéricamente por fórmula del trapecio, y así aproximar la función para un número dado de [math] E_n [/math]. La aproximación con los elementos de la base de [math]-n[/math] a [math]n[/math] será entonces

[math] f(x) \approx \sum_{i=-n}^{n} C_iE_{i|[0,1]} [/math]

Esta aproximación se aprecia en FOTOFINISH, analizando los errores de la aproximación en norma [math]L_2[/math] y uniforme FOTOERRORES.

Vemos que la aproximación mejora el error en norma [math]L_2[/math], que esperábamos por ser continua. Además, como [math] f(-1) \neq \frac{f(-1)+f(1)}{2} = 0 [/math] por ser impar, la aproximación convergerá puntualmente a [math] 0 [/math] en los extremos y por ende no hay convergencia uniforme.

Podemos comparar el rendimiento de esta aproximación con el caso real, aproximando [math]\text{Re}f [/math], con una extensión impar precisamente [math]\text{Re}g [/math]. Por el mismo procedimiento, base y código, podemos obtener una aproximación de esta función real que en este caso converge tanto en norma como uniformemente.

4 Código