Diferencia entre revisiones de «Series de Fourier (Grupo DMR)»
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donde <math> c_0:=\frac{a_0}{2}</math>, <math> c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2} </math> y <math> c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2} </math>. | donde <math> c_0:=\frac{a_0}{2}</math>, <math> c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2} </math> y <math> c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2} </math>. | ||
| − | Usando el producto escalar de funciones con valores complejos comprobemos que es base | + | Usando el producto escalar de funciones con valores complejos en <math> L^2(-\pi,\pi) </math> comprobemos que es base ortogonal |
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| − | ( | + | (e_n,e_m)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} e_n \overline{e_m} \,dx = \int_{-\pi}^{\pi} c_n e^{inx} c_m e^{-imx} \,dx = |
c_n c_m \int_{-\pi}^{\pi} e^{(n-m)ix} \,dx = \frac{-i c_n c_m}{n-m} e^{(n-m)ix} \Big|_{-\pi}^{\pi} = \begin{cases} | c_n c_m \int_{-\pi}^{\pi} e^{(n-m)ix} \,dx = \frac{-i c_n c_m}{n-m} e^{(n-m)ix} \Big|_{-\pi}^{\pi} = \begin{cases} | ||
2\pi & \text{si } n = m \\ | 2\pi & \text{si } n = m \\ | ||
Revisión del 19:49 9 feb 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier (Grupo DMR). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Daniel Rodríguez Calderón, Marcos Cabellos Hernández, Rafael Pascual Ortega. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Qué es una S.F. Citar Base Trig. Motiv. de usos que tiene IRL Introducir la Base Compleja Ortonormalizar
2 Base trigonométrica compleja
Para estudiar la base compleja, partimos de la base trigonométrica y por la fórmula de Euler podemos reescribir coseno y seno de la siguiente forma
[math] \cos\theta = \frac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta}) [/math] [math]\quad[/math] y [math]\quad[/math] [math] \sin\theta = \frac{1}{2i} (e^{i\theta} - e^{-i\theta}) [/math].
La serie trigonométrica de Fourier puede representarse formalmente en [math]f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right] = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{a_n}{2}(e^{inx}+e^{-inx}) + \frac{b_n}{2i}(e^{inx}-e^{-inx}) \right] = [/math]
[math]= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx} +\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx} \right] = c_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[c_n e^{inx} +c_{-n} e^{-inx} \right]=[/math][math] \sum_{n=0}^\infty c_n e^{inx} + \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{inx} [/math] [math]=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx} [/math]
donde [math] c_0:=\frac{a_0}{2}[/math], [math] c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2} [/math] y [math] c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2} [/math].
Usando el producto escalar de funciones con valores complejos en [math] L^2(-\pi,\pi) [/math] comprobemos que es base ortogonal [math] (e_n,e_m)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} e_n \overline{e_m} \,dx = \int_{-\pi}^{\pi} c_n e^{inx} c_m e^{-imx} \,dx = c_n c_m \int_{-\pi}^{\pi} e^{(n-m)ix} \,dx = \frac{-i c_n c_m}{n-m} e^{(n-m)ix} \Big|_{-\pi}^{\pi} = \begin{cases} 2\pi & \text{si } n = m \\ 0 & \text{si } n \neq m \end{cases} [/math]
