Diferencia entre revisiones de «Trabajo 4. Año 20/21»
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En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten definir el tensor de tensiones σ<small>ij</small> como: | En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten definir el tensor de tensiones σ<small>ij</small> como: | ||
<math>σ(x,y)=λ∇·\overrightarrow { u }1 + 2με</math> | <math>σ(x,y)=λ∇·\overrightarrow { u }1 + 2με</math> | ||
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| + | Donde λ y μ son los coeficientes de Lamé, que dependen de cada material. Además, λ = μ = 1. | ||
| + | ε es la parte simétrica del vector gradiente <math>\overrightarrow {u}</math>, es decir, <math>\epsilon (\overrightarrow {u})=\frac {∇\overrightarrow {u} +{∇}\overrightarrow {u} ^{ t } }{ 2 } </math> | ||
Revisión del 01:55 3 dic 2020
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 14-C |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2020-21 |
| Autores | Ana Regaliza Rodríguez Laura León de Hoz |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Consideramos una placa plana que ocupa el semianillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2 en el semiplano y≥0. En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas:
- La temperatura T(x,y), que en nuestro caso solo depende de la variable espacial y.
- Los desplazamientos [math]\overrightarrow { u } (x,y)[/math]. producidos por la acción de una fuerza determinada.
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan.
Contenido
1 Visualización de la placa
Comenzamos dibujando el mallado de la placa, definida como un semianillo, el cual representa los puntos interiores del sólido.
Tomaremos h=1/10 como paso de muestreo y observamos que el mallado no completa el semianillo. Esto es debido al muestreo h que hemos tomado, éste será mayor que θ y, por ello, se omite y aparece ese pequeño desfase.
2 Distribución de temperaturas del sólido
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar:
[math]T(x,y)=log(y²+2)[/math]
Como podemos observar en la gráfica, la temperatura es máxima en el punto (0,1'9991)
3 Estudio del gradiente de temperaturas
Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma ∇T
Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el ∇T es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.
Recordamos la fórmula general del cálculo de ∇T en coordenadas cartesianas
[math]\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } [/math].
Particularizándolo a nuestra temperatura: 
4 Campo de desplazamientos
Consideramos un campo de desplazamientos [math]\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= sin(\theta)f(\rho) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math] , teniendo en cuenta que:
- Los puntos situados en [math]\rho=1[/math] no sufren desplazamiento
- [math]∇ × \overrightarrow { u }= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}[/math]
Este campo de desplazamientos va a producir una deformación en la placa debida a la vibración que ocasiona la fuerza aplicada. Como se aprecia en la siguiente imagen:
4.1 Comparación
Vamos a observar el efecto que ha producido el campo vectorial sobre la placa:
5 Divergencia
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo [math]\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= ({\frac {\rho}{ 15} - \frac {1}{20} - \frac{1}{60\rho²}})sin(\theta) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math] obtenido anteriormente.
La divergencia (∇·[math]\overrightarrow {u})[/math] nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos), los cuales se encuentran en el medio anillo, y en cuales se expande (tonos cálidos).
El cambio de volumen no es muy notable.
6 Rotacional
Estudio del giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos [math]\overrightarrow { u }[/math]
- [math]∇ × \overrightarrow { u }= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}[/math]
Como podemos ver en la gráfica el rotacional es mayor en los puntos exteriores, ya que tiende a rotar en los puntos que han sufrido más desplazamiento.
7 Tensiones normales
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten definir el tensor de tensiones σij como: [math]σ(x,y)=λ∇·\overrightarrow { u }1 + 2με[/math]
Donde λ y μ son los coeficientes de Lamé, que dependen de cada material. Además, λ = μ = 1. ε es la parte simétrica del vector gradiente [math]\overrightarrow {u}[/math], es decir, [math]\epsilon (\overrightarrow {u})=\frac {∇\overrightarrow {u} +{∇}\overrightarrow {u} ^{ t } }{ 2 } [/math]
