Diferencia entre revisiones de «Ecuacion de vigas»

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W=L/2-abs(x-L/2);
 
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plot(x,W,'r',x,y,'b')}}
 
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Revisión del 20:39 14 may 2014

Trabajo realizado por estudiantes
Título Ecuación de vigas. Grupo 13-B
Asignatura Ecuaciones Diferenciales
Curso Curso 2013-14
Autores Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores

El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta. Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas. Los datos iniciales de los que disponemos son: \[\left\{\begin{matrix}\ y=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\] siendo: [math] L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} [/math] Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.

El código Matlab empleado para su estudio es : 

%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0

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% datos generales
L=10;               % longitud viga
E=5E4;              % módulo de Young
a=0.5;              % altura sección rectangular
b=1-a;              % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);
f=(M/(E*I))';       % vector columna
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);

% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;  

%solución
y=K\f;

y=[y0;y;yL];            % añadimos los valores del contorno
fle_max=-max(abs(y))

% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo
% es en L/2, claro

% dibujamos
figure(314)
plot(x,y)


Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa.

Deflexión de la viga.
















A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a. Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. 


%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0

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% partición espacial
L=10;               % longitud viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% datos generales
E=5E4;              % módulo de Young
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;fle_max=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9      % altura sección rectangular
    n=n+1;
    b=1-a;              % anchura sección rectangular
    I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia
    
    % f(x)
    f=(M/(E*I))';       % vector columna
    f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
    f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
    
    %solución
    y=K\f;
    
    y=[y0;y;yL];            % añadimos los valores del contorno
    fle_max(n)=-max(abs(y));
    
    % el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo
    % es en L/2, claro
    
    % dibujamos
    figure(314)
    hold on
    plot(x,y)
end
 fle_max(n)=-max(abs(y))
hold off
figure(628)
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')


Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.
Flechas máximas para las diferentes secciones.





























Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973m.

Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 de valor 1.112m.

2 Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores

El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x.

[math] a(x)=c*(x-L/2)^2 +d [/math]

siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.

Para obtener la relación entre estos valores hemos realizado la integración del volumen total:

[math] L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx[/math]

siendo esta:

[math] d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} [/math]

El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: 

%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0

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% partición espacial
L=10;               % longitud viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% datos generales
E=5E4;              % módulo de Young
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;
c0=-.025;cf=-0.005;
dc=0.0005;
for c=c0:dc:cf         
    n=n+1;
    d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) 
    a=c*(xi-L/2).^2+d; 
    I=(1/12).*a.^4;     % momento de inercia
    
    % f(x)
    f=(M./(E*I))';       % vector columna
    f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
    f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
    
    %solución
    y=K\f;
    
    y=[y0;y;yL];            % añadimos los valores del contorno
    fle_max(n)=-max(abs(y));
     
    % dibujamos
    figure(100)
    hold on
    plot(x,y)
    hold on
    end
hold off
figure(200)
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')

figure(300) % perfil de la viga óptima
C=-0.0161
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)
A=C*(x-L/2).^2+D;
plot(x,A)


Siendo c=-0.0161 y d=0.54028 los valores correspondientes a la viga con menor deflexión.

Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son c= y d= . (Falta gráfica de viga con mayor deflexión)

3 Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga

En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera, ya que la ecuación de la viga es de orden 4. Además se diferencia del primer apartado en que la función ya no depende del momento flector M(x), sino de la carga aplicada W(x).

\[\left\{\begin{matrix}y'=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\] Conservándose además los valores de los datos del apartado 1, y siendo: [math] \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ [/math]

El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos: 


%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0

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% datos generales
L=10;               % longitud viga
E=5E4;              % módulo de Young
a=0.5;              % altura sección rectangular
b=1-a;              % anchura sección rectangular
I=(1/12)*b*a^3;     % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=10;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% g(x)
w=L/2-abs(xi-L/2);
g=-(w/(E*I))';       % vector columna


% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=(1/dx^4)*KK;  

%solución
y=K\g;

y=[0;y;0];            % añadimos los valores del contorno
fle_max=-max(abs(y))

% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo
% es en L/2, claro

% dibujamos
figure(314)
W=L/2-abs(x-L/2);
plot(x,W,'r',x,y,'b')
Gráfica con la carga y la deflexión.
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