Visualización de campos escalares y vectoriales de un fluido (Grupo 17C)

1 Introducción

Se denomina fluido a un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas hay una fuerza de atracción débil. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). El término, por tanto, engloba a los líquidos y a los gases.

2 Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
En mecánica de fluidos, un flujo se clasifica en compresible e incompresible, dependiendo del nivel de variación de la densidad del fluido durante ese flujo. La incompresibilidad es una aproximación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo. Por lo tanto, el volumen de todas las porciones del fluido permanece inalterado sobre el curso de su movimiento cuando el flujo o el fluido es incompresible. En esencia, las densidades de los líquidos son constantes y así el flujo de ellos es incompresible.

Situación del fluido

3 Movimiento de un fluido

3.1 Representación de los puntos interiores

A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista:

Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula en su movimiento, describiendo unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula en cada instante. Esta es la descripción Lagrangiana del movimiento.

Una segunda forma, es asignar a cada punto del espacio y en cada instante, un valor para las propiedades o magnitudes sin importar qué partícula fluida ocupa ese volumen diferencial en ese instante. Esta es la descripción Euleriana del movimiento, que resulta más útil por lo que será la usada en este estudio.

Para representar los puntos interiores de la región que ocupa el fluido, tomaremos que este fluye por el exterior del círculo unidad que será el obstáculo.

Para todo el análisis siguiente usaremos una malla cartesiana que nos represente los puntos interiores del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro en el origen. Dibujando los ejes dentro de los intervalos [-4,4] x [-4,4] se consigue una mejor visualización del esquema en OCTAVE. A continuación se adjunta el código y la figura resultante de este:

h=0.1; %la variable h define los ‘trozos’ en los que se dividen los intervalos
u=1:h:5; % u es la variable ρ en coordenadas curvilíneas y la representamos
%en el intervalo (1,5)
v=0:h:2*pi+h; % v es la variable θ en coordenadas cilíndricas y la representamos 
%en el intervalo (0,2*pi+h) 
%(aclaración: como 2*pi es un numero irracional no llega a cerrar el circulo completo
%por eso se le suma h=0.1. Haciendo zoom en la gráfica se observa 
%que justo en 2*pi esta un poco solapado el mallado)
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % se crea la matriz del mallado
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); %definición de las coordenadas cilíndricas en cartesianas
%(Octave solo entiende de coordenadas cartesianas para la representación de gráficas)
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); %malla
axis([-4,4,-4,4]); %lo definimos solo en estos ejes (zoom)

Representación de los puntos interiores de la región que ocupa el fluido

4 Función potencial φ

4.1 Velocidad

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial:

[math] φ (ρ,θ) = (ρ + \frac{1}{ρ}) \cos(θ)[/math]

Cálculo del gradiente:

[math] ∇φ = \vec v= \vec u= \frac{∂φ}{x^i} \vec g^i= [/math]

[math] =\frac{∂φ}{ρ} \vec g^ρ + \frac{∂φ}{θ} \vec g^θ + \frac{∂φ}{z} \vec g^z= \frac{∂φ}{ρ} \vec g_ρ + \frac{1}{ρ^2} \frac{∂φ}{θ} \vec g_θ + \frac{∂φ}{z} \vec g_z = (1 - \frac {1}{ρ^2}) cos(θ) \vec g^ρ - (ρ + \frac {1}{ρ}) sen(θ)\vec g^θ =[/math]
[math]=(1 - \frac {1}{ρ^2}) cos(θ) \vec g_ρ - (ρ + \frac {1}{ρ})( \frac {1}{ρ^2})sen(θ)\vec g_θ [/math]

Componentes covariantes del vector en la base recíproca:

[math] \vec u=cos(θ)(1 - \frac {1}{ρ^2}) \vec g^ρ - sen (θ)(ρ + \frac {1}{ρ})\vec g^θ [/math]

Componentes contravariantes del vector en la base general:

[math] \vec u=cos(θ)(1 - \frac {1}{ρ^2}) \vec g_ρ - sen (θ) (\frac {1}{ρ} + \frac {1}{ρ^3}) \vec g_θ [/math]

Nota: [math]\vec g^ρ = G \vec g_ρ = \vec g_ρ[/math]
[math]\vec g^θ=G \vec g_θ = \frac {1}{ρ^2} \vec g_θ [/math]

4.1.1 Función potencial

Se adjunta el código de la función potencial φ en OCTAVE y la representación gráfica:

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=(uu+(1./uu)).*cos(vv);
surf (xx,yy,f)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)

Representación gráfica de la proyección de la función potencial

Representación gráfica de la función potencial en 3D

4.1.2 Curvas de nivel

Se adjunta el código de las curvas de nivel de la función potencial en OCTAVE y la representación gráfica:

Curvas de nivel

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
f=inline('cos(v).*(u+1./u)','u','v');
fu=inline('cos(v).*(1-1./u.^2)','u','v');
fv=inline('-(u.^2+1).*sin(v)./u.^2','u','v');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz= f(uu,vv)
contour(xx,yy,zz)

4.1.3 Campo de velocidades del fluido

El campo de velocidades de un fluido es una distribución continua de la magnitud vectorial velocidad a lo largo del dominio de definición. Se adjunta el código del campo de velocidades en OCTAVE y la representación gráfica:

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
fx= (((1./uu - 1./uu.^3).*cos(vv)).*xx)+ (((1./uu + 1./uu.^3).*sin(vv)).*yy);
fy=(((1./uu - 1./uu.^3).*cos(vv)).*yy)- (((1./uu + 1./uu.^3).*sin(vv)).*xx); 
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)

4.1.4 Conclusión

Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial.

4.2 Rotacional

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. El campo vectorial [math]vec{u}[/math] que equivale a la velocidad de las partículas y es el gradiente de la función potencial es de rotacional nulo. Cálculo analítico : [math]\nabla\times\vec{u}= \frac {1}{g^\frac{1}{2}}\begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \frac {1}{ρ} \begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ cos(θ)(1 - \frac {1}{ρ^2})& - sen (θ) (ρ + \frac {1}{ρ}) & 0 \end{pmatrix}=[/math] [math]=\frac {1}{ρ}(\frac{\partial}{\partial z}(cos(θ)(1 - \frac {1}{ρ^2}))\vec{g_θ} ) - (\frac{\partial}{\partial ρ}(sen (θ) (ρ + \frac {1}{ρ}))\vec{g_z})-(\frac{\partial}{\partial θ}((cos(θ)(1 - \frac {1}{ρ^2})\vec{g_z}) + (\frac{\partial}{\partial z}(sen (θ) (ρ + \frac {1}{ρ}))\vec{g_ρ})=[/math] [math]=\frac {1}{ρ}(-sen(θ) (1- \frac{1}{ρ^2}) \vec{g_z} + sen(θ) (1- \frac{1}{ρ^2}) \vec{g_z})= 0 [/math]

El rotacional del gradiente de un campo escalar es siempre nulo.

4.3 Divergencia

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes", la divergencia será positiva y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. También puede ocurrir que la divergencia sea 0, como ocurre en nuestro caso. Esto implica que el flujo es incompresible. Cálculo analítico: [math]\nabla·\vec{u}= \frac {1}{g^\frac{1}{2}}\frac{\partial }{\partial x^i}(g^\frac{1}{2} u^i)= [/math] [math]= \frac {1}{ρ}(\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ u^ρ) + \frac{\partial }{\partial θ}(ρ u^θ) + \frac{\partial }{\partial z}(ρ u^z))=[/math] [math]\frac {1}{ρ}(\frac{\partial }{\partial ρ}((ρ - \frac{1}{ρ})cos(θ)) - (\frac{\partial }{\partial θ}(1 + \frac{1}{ρ^2})sen(θ)) + 0 )=[/math] [math]\frac {1}{ρ}((1 + \frac{1}{ρ^2})cos(θ) - (1 + \frac{1}{ρ^2})cos(θ))=\frac{1}{ρ} (0)= 0[/math]

Al ser la divergencia nula, acabamos de demostrar que el fluido respecto de la función potencial es incompresible.

4.4 Líneas de corriente

Las líneas de corriente del campo [math]\vec{u}[/math] son tangentes al campo vectorial, es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. Esto, lo hemos comprobado en los apartados anteriores al hallar que el rotacional y la divergencia son 0. Vamos a dibujar las lineas de campo para lo que calculamos el siguiente vector:

[math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}[/math]

[math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= {g^\frac{1}{2}}\begin{pmatrix} \vec{g^ρ} & \vec{g^θ} & \vec{g^z} \\ 0 & 0 & 1 \\ u^1 & u^2 & u^3 \end{pmatrix}= ρ (\vec{u^1} \vec{g^θ} - \vec{u^2} \vec{g^ρ}) = ρ ((1-\frac{1}{ρ^2})cos(θ)\vec{g^θ} + (ρ + \frac{1}{ρ}) \frac{sen (θ)}{ρ^2} \vec{g^ρ})=((ρ- \frac{1}{ρ})cos(θ)\vec{g^θ} + (ρ+ \frac{1}{ρ})\frac{sen(θ)}{ρ} \vec{g^ρ})[/math]

Observamos que [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}[/math] es irrotacional, es decir que su rotacional es 0:

[math]\nabla\times\vec{v}= \frac {1}{g^\frac{1}{2}}\begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\\frac{\partial }{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z} \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}=[/math] [math]=\frac{1}{ρ}\begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\ \frac{\partial }{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z} \\ (ρ+\frac{1}{ρ}) \frac{sen(θ)}{ρ} & (ρ-\frac{1}{ρ}) cos(θ) & 0 \end{pmatrix}=[/math]

[math]=\frac{1}{ρ}((1+\frac{1}{ρ^2})cos(θ)- (ρ+\frac{1}{ρ})\frac{cos(θ)}{ρ})\vec{g_z}= \frac{1}{ρ}((1+\frac{1}{ρ^2}) - (1+\frac{1}{ρ^2}))cos(θ)\vec{g_z} = 0[/math]

Cálculo de ψ :

[math]\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = (ρ + \frac{1}{ρ})\frac {sen(θ)}{ρ} \vec{g^ρ} + (ρ - \frac{1}{ρ})cos(θ) \vec{g^θ}[/math]

[math]\frac{∂ψ}{∂ρ}= (ρ + \frac{1}{ρ}) \frac{sen(θ)}{ρ}=(1 + \frac{1}{ρ^2}) sen(θ)[/math]

[math]ψ=\int (1 + \frac{1}{ρ^2})sen(θ) dρ= sen(θ)(ρ+(\frac{-1}{ρ})) + h(θ)[/math]

[math]\frac{∂ψ}{∂θ}=(ρ-\frac{1}{ρ})cos(θ)=cos(θ)(ρ-\frac{1}{ρ})+h'(θ)[/math]

[math]h'(θ) = 0\ltbr /\gt[/math]

[math]h(θ) = cte = 0 [/math]

[math] ψ=sen(θ)(ρ-\frac{1}{ρ})[/math]

Comprobación :

[math]\frac{∂ψ}{∂ρ}=sen(θ)(1+\frac{1}{ρ^2}) [/math]

[math]\frac{∂ψ}{∂θ}=cos(θ)(ρ-\frac{1}{ρ}) [/math]

Representación y código de la función potencial ψ :

Representación de la función potencial

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=(uu-(1./uu)).*sin(vv);
surf (xx,yy,f)
axis([-4,4,-4,4]);

Representación y código de las líneas de corriente :

Representación de la función potencial

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
f=inline('sin(v).*(u-1./u)','u','v');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz= f(uu,vv)
contour(xx,yy,zz)

4.5 Puntos de la frontera

Estudiaremos los puntos de la frontera S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor :

(Fijando ρ=1)

[math] \vec{v}= cos(θ)(1-\frac{1}{ρ^2})\vec{g_ρ} - sen (θ) (\frac{1}{ρ} + \frac{1}{ρ^3})\vec{g_θ} [/math] [math]|\vec{v}|=((1- \frac{1}{ρ^2})^2 (cos(θ))^2 + (\frac{1}{ρ}+\frac{1}{ρ^3})^2 (sen(θ)^2))^(1/2)=f(ρ,θ)([/math]

Velocidades en la frontera

[math]f(1,θ)=(4(sen(θ))^2)^(1/2)=2|sen(θ)|[/math]

[math]|\vec u| (0)= 0 [/math] Mínimo relativo [math]|\vec u| (\frac{ \pi}{ 2})= 2 [/math] Máximo relativo [math]|\vec u| (\pi)= 0 [/math] Mínimo relativo [math]|\vec u| (\frac{ 3\pi}{ 2})= 2[/math] Máximo relativo

Los puntos de remanso son aquellos en los que la velocidades es nula.

4.6 Presión. Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

[math] \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte [/math]

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes:

p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. \vec{u}: Velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad:

El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo. Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).

El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá. Dato del que hablaremos en los siguientes apartados.

Aplicación en nuestro ejercicio: [math](|\vec{u}|)^2 + p = cte = 10 [/math] [math]p = - (|\vec{u}|)^2 + 10 [/math] [math] (|\vec{u}|)^2= (1-\frac{1}{ρ^2})^2 (cos(θ))^2 + (1+\frac{1}{ρ^2})^2 (sen(θ))^2 [/math] [math] p = -(1-\frac{1}{ρ^2})^2 (cos(θ))^2 + (1+\frac{1}{ρ^2})^2 (sen(θ))^2 + 10 [/math]

Código y representación gráfica de las líneas de corriente:

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz= sin(vv).*(uu-1./uu);
contour(xx,yy,zz)

Código y representación gráfica del módulo de la velocidad:

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=[[((1-(1./(uu.^2))).^2).*((cos(vv)).^2)]+[(((1./uu)+(1./(uu.^3))).^2).*((sin(vv)).^2)]].^(0.5)
surf (xx,yy,f)
axis([-4,4,-4,4]);

Código y representación gráfica de la presión:

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=10-[[((1-(1./(uu.^2))).^2).*((cos(vv)).^2)]+[(((1./uu)+(1./(uu.^3))).^2).*((sin(vv)).^2)]];
surf (xx,yy,f)
axis([-4,4,-4,4]);

4.7 Variación de la velocidad y la presión

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.

Diagrama de presión velocidad

4.8 Teorema de Kutta-Joukowski

La circulación del campo \vec {u} a lo largo de la circunferencia unitaria centrada en el origen es nula. Comprobación :

[math] ∫ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 [/math]

Se comrpueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma:

[math] l=ρvΓ [/math]

Siendo:

l: la fuerza de sustentación

ρ: densidad del fluido

v: velocidad del fluido

Γ: la circulación

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición. Esto es lo que se conoce como la paradoja de D'Alembert. En el caso en el que la circulación no sea nula, la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo será ortogonal a las lineas de corriente.

5 Función potencial [math]φ_1[/math]

[math] φ_1=(ρ+\frac{1}{ρ})cos(θ) + \frac{θ}{4π} [/math]

Cálculo del gradiente: [math] ∇φ_1 = \vec u=\frac{∂φ_1}{∂x^i} \vec g^i= [/math]

[math] =\frac{∂φ_1}{∂ρ} \vec g^ρ + \frac{∂φ_1}{∂θ} \vec g^θ + \frac{∂φ_1}{∂z} \vec g^z= [/math]

[math] =\frac{∂φ_1}{∂ρ} \vec g_ρ + \frac{1}{ρ^2} \frac{∂φ_1}{∂θ} \vec g_θ + \frac{∂φ_1}{∂z} \vec g_z = [/math]

[math] =(1 - \frac {1}{ρ^2}) cos(θ) \vec g^ρ - ((ρ + \frac {1}{ρ}) sen(θ) + \frac{1}{4π})\vec g^θ = [/math]

[math] =(1 - \frac {1}{ρ^2}) cos(θ) \vec g_ρ - ((ρ + \frac {1}{ρ})( \frac {1}{ρ^2})sen(θ) + \frac{1}{4πρ^2})\vec g_θ [/math]

Componentes covariantes del vector en la base recíproca:

[math] \vec u=cos(θ)(1 - \frac {1}{ρ^2}) \vec g^ρ - sen (θ)(ρ + \frac {1}{ρ}) + \frac{1}{4π}\vec g^θ [/math]

Componentes contravariantes del vector en la base general:

[math] \vec u=cos(θ)(1 - \frac {1}{ρ^2}) \vec g_ρ - sen (θ) (\frac {1}{ρ} + \frac {1}{ρ^3})+ \frac{1}{4πρ^2} \vec g_θ [/math]

Representación y gráfica de la función potencial:

Función potencial

Función potencial en 3D

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=[(uu+(1./uu)).*cos(vv)]+[(vv)./(4*pi)];
surf (xx,yy,f)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)

5.1 Curvas de nivel

Representación gráfica y código :

Curvas de nivel

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
f=inline('cos(v).*(u+1./u)','u','v');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz= f(uu,vv)
contour(xx,yy,zz)

5.2 Campo de velocidades

Representación gráfica y código:

h=0.1;
u=1:h:5;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
fx= (((1./uu - 1./uu.^3).*cos(vv)).*xx)+ ((((1./uu + 1./uu.^3).*sin(vv))+(1./(4*pi*((uu).^2))).*yy));
fy= (((1./uu - 1./uu.^3).*cos(vv)).*yy)- ((((1./uu + 1./uu.^3).*sin(vv))+(1./(4*pi*((uu).^2))).*xx)); 
surf (xx,yy,f)
axis([-4,4,-4,4]);

Campo de velocidades

5.3 Rotacional

Cálculo analítico: [math]\nabla\times\vec{u}= \frac {1}{g^\frac{1}{2}}\begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \frac {1}{ρ} \begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ cos(θ)(1 - \frac {1}{ρ^2})& - (sen (θ) (ρ + \frac {1}{ρ})) + \frac{1}{4π} & 0 \end{pmatrix}=[/math] [math]=\frac {1}{ρ}(-sen(θ) (1- \frac{1}{ρ^2}) \vec{g_z} + sen(θ) (1- \frac{1}{ρ^2}) \vec{g_z})= 0 [/math]

5.4 Divergencia

Cálculo analítico: [math]\nabla·\vec{u}= \frac {1}{g^\frac{1}{2}}\frac{\partial }{\partial x^i}(g^\frac{1}{2} u^i)= [/math] [math]= \frac {1}{ρ}(\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ u^ρ) + \frac{\partial }{\partial θ}(ρ u^θ) + \frac{\partial }{\partial z}(ρ u^z))=[/math] [math]=\frac {1}{ρ}(\frac{\partial }{\partial ρ}((ρ - \frac{1}{ρ})cos(θ)) - (\frac{\partial }{\partial θ}((1 + \frac{1}{ρ^2})sen(θ)- \frac{1}{4πρ})) + 0) =[/math] [math]=\frac {1}{ρ}((1 + \frac{1}{ρ^2})cos(θ) - (1 + \frac{1}{ρ^2})cos(θ))= 0[/math]

5.5 Líneas de corriente

Vamos a dibujar las lineas de corriente del campo para lo que calculamos el siguiente vector:

[math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}[/math]

[math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= ρ \begin{pmatrix} \vec{g^ρ} & \vec{g^θ} & \vec{g^z} \\ 0 & 0 & 1 \\ u^1 & u^2 & u^3 \end{pmatrix}= ρ (\vec{u^1} \vec{g^θ} - \vec{u^2} \vec{g^ρ}) = ρ ((1-\frac{1}{ρ^2})cos(θ)\vec{g^θ} + (\frac{1}{ρ}+ \frac{1}{ρ^3}) sen (θ) - \frac{1}{4πρ^2}) \vec{g^ρ})=((ρ- \frac{1}{ρ})cos(θ))\vec{g^θ} + (sen(θ)(1+\frac{1}{ρ^2})- \frac{1}{4πρ})\vec{g^ρ}=((\frac{1}{ρ}- \frac{1}{ρ^3})cos(θ))\vec{g_θ} + (sen(θ)(1+\frac{1}{ρ^2})- \frac{1}{4πρ})\vec{g_ρ}[/math]

Observamos que [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}[/math] es irrotacional, es decir que su rotacional es 0:

[math]\nabla\times\vec{v}= \frac {1}{g^\frac{1}{2}}\begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\\frac{\partial }{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z} \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}\begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\ \frac{\partial }{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z} \\ (-sen(θ)(1+\frac{1}{ρ^2})-\frac{1}{4πρ}) & cos(θ)(ρ-\frac{1}{ρ}) & 0 \end{pmatrix}=[/math] [math]=\frac{1}{ρ}(((cos(θ)(ρ-\frac{1}{ρ}))\frac{∂ }{∂ρ}\vec{g^z} + (-sen(θ)(ρ+\frac{1}{ρ^2})-\frac{1}{4πρ})\frac{∂ }{∂z}\vec{g_θ}-(sen(θ)(1+\frac{1}{ρ^2}) + \frac{1}{4πρ}) \frac{∂ }{∂θ} \vec{g_z} - (cos(θ)(ρ-\frac{1}{ρ}))\frac{∂ }{∂z}\vec{g_ρ})= [/math] [math]= \frac{1}{ρ}(cos(θ)(1+\frac{1}{ρ^2})\vec{g_z} - (1+\frac{1}{ρ^2}))cos(θ)\vec{g_z} = 0[/math]

Cálculo de ψ : [math] \frac{∂ψ}{∂ρ}=sinθ(1+\frac{1}{ρ^2})-\frac{1}{4πρ} [/math]

[math] \frac{∂ψ}{∂θ}=cosθ(ρ-\frac{1}{ρ})[/math] [math] \frac{∂ψ}{∂z}=0 [/math] [math] ψ= sinθ(ρ-\frac{1}{ρ})-\frac{1}{4π}ln ρ [/math]