Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo G10)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G-10
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2014-15
Autores	Martin Ezequiel Collado, Javier Martínez Colorado, Daniel Gálvez Ballesteros, Martina Calvo Zarco, Laura de la Morena Méndez, Alejandro Carillo del Aguila
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideramos una placa plana (de dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas

• [math] P1: x\cdot y-\frac{1}{2}=0 [/math]
• [math] P2: x\cdot y- 3=0 [/math]

Para representarla, usaremos el sistema de coordenadas hiperbólico, que se adapta a la geometría que nos dan: [math] \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right. [/math]

Con u, v definidas en [math] (u,v)\epsilon [-2,2]x[\frac{1}{2},3] [/math]

1 Mallado del sólido

Toma como paso de muestreo h=1/10 para las coordenadas u y v. dibujar los ejes en el intervalo (x,y)∈[0,2.5]×[0,2.5].

---

 

Mallado placa.

% Mallado
clf

% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % 0.1 = Paso de muestreo

[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado

% Fórmula para x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); 
y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; 
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1); 
title('Mallado de la placa')
% Ejes de 0 a 2.5
axis([0,2.5,0,2.5])

2 Lineas coordenadas y vectores base natural

2.1 Lineas coordenadas

Representación de las líneas coordenadas y los vectores de la base natural en cada punto del mallado.

Líneas coordenadas: Fijamos la primera variable y dejamos libre la segunda quedando unas hipérbolas. Luego fijamos la segunda variable y dejamos libre la primera quedando de igual manera otras hipérbolas.

---

 

Código:

Representacion zona placa - Lineas Coordenadas.

clf; 
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[uu,aa] = meshgrid(u,0.8:0.2:1.4); % Mallado 1
[bb,vv] = meshgrid(-0.2:0.2:0.4,v); % Mallado 2
x1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)+uu); X1 = x1';
y1 = sqrt(sqrt(uu.^2+aa.^2)-uu); Y1 = y1';
x2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)+bb);
y2 = sqrt(sqrt(bb.^2+vv.^2)-bb);

hold on; 
axis([0.5,1.5,0.5,1.5]);
plot(X1, Y1,'b','LineWidth',2) % Representación 1
plot(x2, y2,'c','LineWidth',2) % Representación 2
title('Líneas coordenadas (sólo cuatro representadas)')

2.2 Vectores base natural

Fundamento matemático

---

 

Vectores que forman la base natural: [math] \vec{g}_i=\frac{(\partial x_{i})}{(\partial x^{j})}\cdot \vec{e_{i}} [/math]

[math] \vec{r}= x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}= \sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\cdot \vec{j} [/math]

Respecto a u

[math] \vec{g}_u=\frac{(\partial x)}{(\partial u)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial u)}\cdot \vec{j} [/math]

[math] \frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=-\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} [/math]

Respecto a v

[math] \vec{g}_v=\frac{(\partial x)}{(\partial v)}\cdot \vec{i}+\frac{(\partial y)}{(\partial v)}\cdot \vec{j} [/math]

[math] \frac{(\partial x)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})} \;\; \;\;\;\;\; \frac{(\partial y)}{(\partial u)}=\frac{v}{(2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}})} [/math]

---

 

Código:

Mallado de la placa y vectores de la base.

% Vectores de la base natural
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Base natural respecto a u
gux=(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)))./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2));
guy= -sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1)./(2*sqrt(u1.^2+v1.^2));
% Base natural respecto a v
gvx=v1./(2.*sqrt(u1.^2+v1.^2).*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
gvy=v1./(2.*sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1).*sqrt(u1.^2+v1.^2));

% Dibujo de la base natural en cada punto
quiver(x1,y1,gux,guy);quiver(x1,y1,gvx,gvy);
title('Vectores de la base natural')

3 Temperatura del sólido

La temperatura del sólido viene dada por la función [math] T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} [/math] . Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima

---

 

Código:

Gráfico distribución de temperaturas.

% Curvas nivel Temperatura
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]

[u1,v1]=meshgrid(u,v);
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
T = exp(-(x1+y1).^2);

% Curvas de nivel mediante el comando contour
figure(1)
contour(x1, y1, T)
title('Curvas de nivel en el interior de la placa')
figure(2)
hold on;
axis([0,2.5,0,2.5])
mesh(x1,y1,0.*x1,'LineWidth',1); 
contour(x1,y1,T);
title('Gráfico superpuesto')
% El valor es máximo donde la placa está más proximo
% al origen

Gráfico de temperaturas y superficie superpuesto

El valor máximo de la temperatura será aquel donde la placa esté más cercana al punto (0,0), es decir el origen, ya que:

[math] T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )}=\frac{1}{e^{(x+y)^2 }} \;\; \rightarrow \; T\; \epsilon \; (0,1) (x+y)^2=0 \rightarrow T(x,y)=\frac{1}{1}=1 [/math]

4 Campo vectorial gradiente ([math] \nabla T[/math])

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas. [math] T(x,y)=e^{(-(x+y)^2 )} [/math].

Fundamento matemático

---

 

Gradiente de un campo escalar:

[math] \vec{grad}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\cdot \vec{e_{i}} \; \Rightarrow \vec{grad}(T)=\frac{\partial T}{\partial x}\cdot \vec{e_{1}}+\frac{\partial T}{\partial y}\cdot \vec{e_{2}} [/math]

[math] \frac{\partial T}{\partial x}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2} \;\; \frac{\partial T}{\partial y}= -2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2} [/math]

---

 

Código:

Campo vectorial gradiente de T(x,y)

% grad(T)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);% Ejes de 0 a 2.5
hold on;
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

T = exp(-(x1+y1).^2);
contour(x1, y1, T) % Curvas de nivel
% Gradiente
dTdx=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente x del gradiente
dTdy=T.*(-2*(x1+y1)); % Componente y del gradiente
quiver(x1,y1,dTdx,dTdy)
title('Gradiente en el interior de la placa (con curvas de nivel)')

[M,I]=max(T(:)); % Calculo del máximo
x=x1(I); %Coordenada y del maximo
y=y1(I); % Coordenada y del maximo

fprintf('El punto con temperatura máxima es el (%3.3f,%3.3f)\n',x,y)

RESULTADOS OBTENIDOS:

REPRESENTACIÓN DE LA ACCIÓN DE LA TEMPERATURA EN LA PLACA

 

COORDENADAS DE MAXIMA TEMPERATURA
(x,y) = (0.707, 0.707)

Son ortogonales ya que:

Curvas de nivel:

[math] e^{-(x+y)^2}=cte \rightarrow y=cte-x [/math] Pendiente de la recta= -1

Gradiente:

[math] \nabla (T)=-2\cdot (x+y)\cdot e^{-(x+y)^2}\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}) [/math] Pendiente en los puntos=1

Las pendientes son perpendiculares.

5 Campo desplazamientos

Consideramos ahora el campo de desplazamientos [math] \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v [/math] Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del dibujo

Fundamento matemático

---

 

[math]\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \vec{g_{v}}[/math]

[math]\vec{g_{v}}= \frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j}[/math]

[math]\vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})[/math]

---

 

Código:

Coordenadas respecto (u,v)

% Campo de desplazamientos:
clf; axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Desplazamiento en x
ux=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento en y
uy=(((v1.^2)/10)-(v1./20)).*(1./sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
quiver(u1,v1,ux,uy)

El gráfico y el código anterior de Matlab nos muestran los desplazamientos respecto a las coordenadas u y v, por lo que pasamos la expresión a las coordenadas x e y para poder visualizarlo en el interior de la placa.

Fundamento matemático

---

 

[math] \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u \\ y^2=\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u\end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right. [/math] [math] \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\sqrt{u^{2}+v^{2}} \\ x^2-y^2=2u\end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{2}=\sqrt{(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^{2}} \\ \frac{x^2-y^2}{2}=u\end{matrix}\right. [/math] [math] \rightarrow (\frac{x^2-y^2}{2})^2=(\frac{x^2-y^2}{2})^2+v^2 \rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{x^2\cdot y^2}{2}=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2 [/math] [math] \frac{x^2\cdot y^2}{2}=-\frac{x^2\cdot y^2}{2}+v^2 \rightarrow x^2\cdot y^2=v^2 \rightarrow x\cdot y=v [/math]

Cambio de base: [math] \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}+u} \\ y=\sqrt{\sqrt{u^{2}+v^{2}}-u}\end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix} u=\frac{x^2-y^2}{2} \\ v=x\cdot y\end{matrix}\right. [/math] Por lo tanto: [math]\vec{u}(u,v)=(\frac{v^2}{10}-\frac{v}{20})\cdot (\frac{1}{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}\cdot \vec{j})[/math]

[math]\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})[/math]

Desplazamiento en x: [math] \vec{u}(x,y)=(\frac{x\cdot y^2}{10}-\frac{y}{20})\vec{i} [/math] Desplazamiento en y: [math] \vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y}{10}-\frac{x}{20})\vec{j} [/math]

---

 

Código:

Desplazamiento respecto (x,y)

% Campo de desplazamientos en x, y:

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 como dice el enunciado
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1));
% Desplazamiento según vector j
uy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

subplot(2,2,1)
mesh(x1,y1,0.*x1);
view(0,90)
title('Mallado placa')
subplot(2,2,2)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(2,2,3)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en funcion de u y v')

% Desplazamientos en función de x e y (Dentro de la placa)
% Los hemos incluído sólo como comprobación

subplot(2,2,4)
hold on; 
mesh(x1,y1,0.*x1); 

% Desplazamiento en x
despx=(x1.*y1.^2./10)-(y1./20);
% Desplazamiento en y
despy=(x1.^2.*y1./10)-(x1./20);
quiver(x1, y1, despx, despy)
title('Desplazamientos en funcion de x e y')

6 Efecto de desplazamiento sobre placa

Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u ⃗. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

[math]\vec{u}(x,y)=(\frac{x^2\cdot y^2}{10}-\frac{x\cdot y}{20})\cdot (\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j})[/math]

[math]\vec{r_{0}}(u,v)=\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i}+\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j}[/math]

---

 

Código:

% Placa deformada

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5 
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1); 
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1)); 
despy=(((v1.^2)./10)-(v1./20)).*(1./sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')

ANIMACIÓN DEL EFECTO DEL CAMPO [math] \vec{u} [/math] SOBRE LA PLACA

 

7 Divergencia de [math] \vec{u} [/math] sobre los puntos del sólido

Calcular la divergencia de 𝒖⃗⃗⃗ en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica? Solución: Calculamos primero la matriz de Gram: Fundamento matemático

---

 

[math] G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} [/math]

[math] \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u}=(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} [/math]

[math]\vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v}=\vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{u}= (\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{i}+\frac{\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = 0 [/math]

[math] \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v}=(\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j})\cdot (\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{i}+\frac{v}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}\sqrt{-u+\sqrt{u^2+v^2}}} \cdot \vec{j}) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} [/math]

[math] \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} [/math]

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a v porque es el único que posee campo)

[math] \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} [/math] [math] \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} [/math]

---

 

Código:

Divergencia de u

% Divergencia u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5 
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3;% u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia de u')

Se puede apreciar que cuanto más lejos estén los puntos del origen, mayor será su divergencia, es decir, mayor será su cambio de área debido al desplazamiento (en rojo en el gráfico)

8 Rotacional en todos los puntos del sólido - [math] \left | \nabla x \vec{u} \right | [/math]

Calcular [math] \left | \nabla x \vec{u} \right | [/math] en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional?

Fundamento matemático

---

 

Calculamos primero la matriz de Gram: [math] G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} [/math] [math] \left | \nabla x \vec{u} \right | = \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} [/math]

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes: [math] \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_v=u^v\cdot\vec{g}_{v} [/math] [math] \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^v\cdot G_{22} \cdot \vec{g}^v=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} [/math] [math] \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ 0 & \frac{v-\frac{1}{2}}{10} \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})-\frac{\partial }{\partial u}(0)\end{bmatrix} =0 [/math]

---

 

Código:

Módulo Rotacional

% Rotacional u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = zeros(size(x1)); 
surf(x1, y1, rot)
title('Módulo del rotacional de u')

9 . Centro de masas y masa total placa

Supongamos que la densidad de la placa es [math] d(x,y)=y\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} [/math]. Calcular la masa total y el centro de masas de la placa:

---

 

Código:

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; 
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
dens = y1.*exp(-1./x1.^2); % Fórmula de la densidad

n = length(u); m = length(v); 
masa = 0; cmasax = 0; cmasay = 0; % Masa y centros de masas

% Cálculo de masa y centros de gravedad
for k = 1:n
  for l = 1:m
    x = sqrt(sqrt(u(k)^2+v(l)^2)+u(k)); y=sqrt(sqrt(u(k).^2+v(l).^2)-u(k));
    dens = y*exp(-1/x^2);
    masa = 0.01*dens + masa;
    cmasax = x*0.01*dens + cmasax; cmasay = y*0.01*dens + cmasay;
  end
end

% Salida de datos
fprintf('La masa de la placa es %7.3f\n', masa)
fprintf('Las coodenadas del centro de masas son: (%1.3f, %1.3f)\n', cmasax/masa, cmasay/masa)

RESULTADOS OBTENIDOS

MASA TOTAL	CENTRO DE MASAS PLACA
7.026	(x,y) = (1.535, 1.464)

 

10 Cambio de campo [math] \vec{u}(u,v) [/math]

Sea el campo [math] \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u [/math], realizaremos las mismas operaciones sobre la placa para este nuevo campo.

10.1 Campo desplazamientos

Fundamento matemático

---

 

[math] \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u [/math] [math] \vec{g}_u=\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j} [/math] [math] \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot\sqrt{u^2+v^2}\cdot(\frac{\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot \vec{j})= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j}) [/math]

---

 

Código:

Desplazamiento de nuevo campo

% Campo de desplazamientos con un nuevo u

clf;axis([0,2.5,0,2.5]); %ejes de 0 a 2.5 
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);
% Fórmula de la x e y
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

% Desplazamientos en función de la base natural
% Desplazamiento según vector i
ux=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2)));
% Desplazamiento según vector j
uy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));
subplot(1,2,1)
quiver(x1, y1, ux, uy);
title('Campo de desplazamientos')

% Desplazamientos en función de la base natural (dentro de la placa)
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1);
quiver(x1, y1, ux, uy)
title('Desplazamientos en la placa')

10.2 Placa antes y despues del desplazamiento

Fundamento matemático

---

 

El vector de los puntos de la placa después de la deformación viene dada por:

[math] \vec{r}(u,v)=\vec{r}_0(u,v) + \vec{u}(u,v) [/math] [math] \vec{r}_0=\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}+u}\cdot \vec{i}+\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-uu}\cdot \vec{i} [/math] [math] \vec{u}(u,v)= \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot (\sqrt{u+\sqrt{u^2+v^2}})\cdot \vec{i}-\sqrt{\sqrt{u^2+v^2}-u}\cdot \vec{j}) [/math]

---

 

Código:

Placa deformada por el nuevo campo u

% Placa deformada con un nuevo u

clf;axis([0,3,0,3]); % Ejes de 0 a 2.5 
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v);

% Placa sin deformar
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);

subplot(1,2,1)
hold on; mesh(x1,y1,0.*x1); 
title('Placa sin deformar')

% Vector desplazamientos
despx=(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(u1+sqrt(u1.^2+v1.^2))); 
despy=-(v1./10.-(1./20)).*(sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1));

% Placa deformada
subplot(1,2,2)
hold on; mesh(x1+despx,y1+despy,0.*x1);
title('Placa deformada')

ANIMACIÓN DEL EFECTO DEL CAMPO [math] \vec{u}_{1} [/math] SOBRE LA PLACA

 

10.3 Cálculo de la divergencia

Fundamento matemático

---

 

[math] G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} [/math] [math] \sqrt{g}=\sqrt{det(G))}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}\cdot\frac{1}{2\cdot\sqrt{u^2+v^2}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} [/math]

Cálculo de la divergencia: (sólo lo hacemos respecto a u porque es el único que posee campo)

[math] \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} [/math] [math] \nabla \cdot \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{g}}\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\cdot u^i)= 2\sqrt{u^2+v^2}\cdot\frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{u^2+v^2}})= 2\sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{\partial }{\partial u}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10}) =\frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{\partial }{\partial u}(v-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}\sqrt{u^2+v^2} \cdot 0 = 0[/math]

---

 

Código:

Divergencia del nuevo campo u

% Divergencia con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]); % Ejes de 0 a 2.5 

u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on; axis([0,2.5,0,2.5])

% Divergencia
div = zeros(size(x1));
surf(x1, y1, div)
title('Divergencia con el nuevo u')

10.4 Cálculo del rotacional

Fundamento matemático

---

 

[math] G=\begin{pmatrix} \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{u} & \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} \\ \vec{g}_{u}\cdot\vec{g}_{v} & \vec{g}_{v}\cdot\vec{g}_{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \end{pmatrix} [/math] [math] \sqrt{g}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u^2+v^2}} [/math] [math] \nabla x \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{g}}\cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ u_{u} & u_{v}v\end{pmatrix} [/math]

Pasamos el campo a coordenadas contravariantes: [math] \vec{u}(u,v)=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot\vec{g}_u=u^v\cdot\vec{g}_{u} [/math] [math] \Rightarrow \vec{u}(u,v)=u^u\cdot G_{11} \cdot \vec{g}^u=\frac{v-\frac{1}{2}}{5}\sqrt{u^2+v^2}\cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u^2+v^2}} \cdot \vec{g}^v = \frac{v-\frac{1}{2}}{10}\cdot \vec{g}^v =u_{v}\cdot \vec{g}^{v} [/math] [math] \nabla x \vec{u} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot det\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial u} & \frac{\partial }{\partial v} \\ \frac{v-\frac{1}{2}}{10} & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial u}(0) -\frac{\partial }{\partial v}(\frac{v-\frac{1}{2}}{10})\end{bmatrix} = = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \cdot \frac{\partial }{\partial v}(v-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = 2 \cdot \sqrt{u^2+v^2} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{10} \end{bmatrix} = -\frac{1}{5}\cdot 2 \sqrt{u^2+v^2} [/math]

---

 

Código:

Rotacional del nuevo campo u

% Rotacional con un nuevo u (apartado 9)
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;

% Rotacional
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)
title('Rotacional con el nuevo u')