Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 10-A

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 10-A)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	Juan Fernández Soubrié Álvaro Paredes Andrés Jose Enrique Blasco Sánchez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math](x, y) ∈ [0, 10]×[0, 2][/math].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

la temperatura [math]T(x, y)[/math], que viene dada por [math]T(x, y) = (x − 3)^2 + (10(y − 1/2))^2[/math]

y los desplazamientos [math]\vec{u}(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos

[math]\vec{r_{0}}(x, y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto

[math](x, y)[/math] de la placa después de la deformación viene dada por [math]\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).[/math]

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de

la misma dado por el vector [math]\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),[/math] donde [math]\vec{a}[/math] se conoce como amplitud,

[math]k \gt 0[/math] es el número de onda, [math]\vec{d}[/math] es un vector unitario que marca la dirección de propagación y [math]v[/math] es la

velocidad de propagación. La variable [math]t[/math] representa el tiempo que congelaremos en [math]t = 0[/math] en los primeros 10 apartados

de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados, [math]\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).[/math]

Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud.

Tomaremos en particular [math]\vec{a}=2/5\vec{j}, k=1, \vec{d}=\vec{i}[/math]

1 Representación placa rectangular

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo [math](x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5][/math] y como paso de muestreo [math]h = 2/10[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].

Iniciamos el programa añadiendo los comandos correspondientes para borrar lo anterior programado, y continuamos aportando al programa los datos como el paso de muestreo [math]h[/math], parámetros de la placa [math]x[/math] e [math]y[/math]. Acto seguido definimos las matrices [math]X, Y, Z[/math], esta última siendo 0 dado que el comando pide tres matrices, y nosotros únicamente necesitamos dos. Creamos el mallado con el comando [math]meshgrid()[/math] y posteriormente el mallado con [math]mesh()[/math]. Para finalizar ajustamos los ejes a los límites establecidos, los nombramos y titulamos el gráfico.

Mallado

clc
clear
close all
% Definimos el paso de muestreo h para las variables x e y
h=2/10; 
% Definimos los parámetros que definen la placa sólida: x e y
x=[0:h:10];          
y=[0:h:2];
% Creamos el mallado con las matrices X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y); 
% Dibujamos la malla de puntos
mesh(X,Y,0*Y)
% Utilizamos el comando axis () para establecer los límites de los ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Escribimos el título del gráfico y los nombres de los ejes 
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view (2), visuaizamos el mallado en 2 dimensiones
view(2);

2 Curvas de nivel de la temperatura y punto en el que es máxima

Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

A partir de las variables [math]h[/math]., [math]x[/math] e [math]y[/math] creadas anteriormente, volvemos a utilizar el comando [math]meshgrid ()[/math] para obtener las matrcies [math]X[/math] e [math]Y[/math].

A continuación, definimos el campo de temperatura T en función de las matrices X e Y. Añadimos el [math].[/math] cuando realicemos operaciones como elevar al cuadrado, pues el punto permite realizar la operación a cada elemento de la matriz elemento a elemento.

Utilizaremos el comando [math]mesh()[/math] para representar la función de temperatura utilizando las matrices [math]X[/math], [math]Y[/math] y [math]T[/math]. Para representar las curvas de nivel, utilizaremos el comando [math]contour ()[/math], mediante el que dibujaremos 50 curvas de nivel. Como obtendremos dos gráficos, los representaremos en la misma ventana con el comando [math]subplot ()[/math].

Por último, ajustaremos los ejes según los límites indicados, escribiremos el título del gráfico y de los ejes y nos ayudaremos del comando [math]colorbar[/math] para incluir una barra de colores que permita identificar los valores del campo de temperaturas. De esta manera, los colores fríos indican un menor valor de la temperatura, mientras que los colores cálidos se corresponden con valores mayores.

Viendo los resultados obtenidos decimos que la máxima temperatura se alcanza en [math]x=10, y=2[/math] siendo 275ºC.

Curvas de nivel

clc
clear
close all
% Paso de muestreo h para las variables x e y
h = 2/10;
% Región que ocupa la placa rectangular
x = [0:h:10];
y = [0:h:2];
% Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10(y-1/2))^2
T = (X-3).^2 + (10*(Y-1/2)).^2;
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura');
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Establecemos el límite de los ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,T);
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,50);
%añadimos la barra de colores
colorbar

3 Gradiente de la temperatura

Calcular [math]∇T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que [math]∇T[/math] es ortogonal a dichas curvas.

Volvemos a utilizar el código del programa del apartado anterior, manteniendo las variables [math]h[/math], [math]x[/math] e [math]y[/math], así como las matrices [math]X[/math] e [math]Y[/math] obtenidas mediante el comando [math]meshgrid ()[/math] y la matriz [math]T[/math] de temperatura.

Posteriormente realizaremos el cálculo el gradiente en cartesianas, que toma la siguiente expresión:

[math]\frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = (2x+6)\vec{i}+(200y-100)\vec{j}[/math]

Una vez calculado, crearemos las variables [math]dx[/math] y [math]dy[/math] en función de las matrices [math]X[/math] e [math]Y[/math]. Por último utilizaremos el comando [math]quiver ()[/math] para representar el gradiente de la temperatura.

Para comprobar la ortogonalidad entre las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente nos ayudaremos del comando [math]hold on[/math] para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

Gradiente

clc
clear
close all
% Paso de muestreo h para las variables x e y: h = 2/10
h = 2/10;
% Región que ocupa la placa rectangular
x = [0:h:10];
y = [0:h:2];
% Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
% Función temperatura: T(x,y) = (x-3).^2 + (10*(y-1/2)).^2;
T = (X-3).^2 + (10*(Y-1/2)).^2;
contour(X,Y,T,30);
% Gradiente de T
dx = 2.*(X-3);
dy = 200.*Y-100;
% Título
title('Gradiente de temperatura');
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar

4 Campo de vectores de desplazamiento

Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en [math]t=0[/math].

Comenzaremos calculando [math]\vec{u}[/math], y representaremos las variables [math]h[/math], [math]x[/math] e [math]y[/math] y utilizaremos el comando [math]meshgrid ()[/math] para obtener las matrices [math]X[/math] e [math]Y[/math]. Definiremos el campo de desplazamientos con las variables [math]ux[/math] y [math]uy[/math] en función de las matrices [math]X[/math] e [math]Y[/math], y utilizaremos el comando [math]quiver()[/math] para representar el campo de vectores de desplazamiento. Finalmente ajustaremos los ejes a los límites dados y los nombramos, al igual que al gráfico.

Campo de vectores

clc 
clear
close all
% Paso de muestreo h para las variables x e y
h=2/10; 
% Región que ocupa la placa rectangular
x=[0:h:10];          
y=[0:h:2];
% Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos el campo de desplazamientos
ux=0;
uy=2/5.*sin(X);
% Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido
quiver(x,y,ux,uy)
% Establecemos el límite de los ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
axis equal
% Escribimos el título del gráfico
title('Campo de desplazamientos');
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);

5 Sólido antes y después del desplazamiento

Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores [math]\vec{u}[/math] (en [math]t=0[/math]). Dibujar ambos en la misma figura usando el comando [math]subplot[/math].

Comenzaremos definiendo las regiones y parámetros del sólido, antes y después del desplazamiento del sólido. Con el comando [math]subplot[/math] representamos ambas situaciones y una representación de las dos juntas.

Desplazamiento

clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10; 
x=0:h:10;          
y=0:h:2;

%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%Vector desplazamiento
Ux=0;
Uy=2/5.*sin(Mx);

figure

%Antes del desplazamiento
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*My)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
axis equal
view(2)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+Ux,My+Uy,0*Uy)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
axis equal
view(2)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparación
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,0*My)
hold on
plot3(Mx+Ux,My+Uy,0*Uy)
hold off
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
axis equal
view(2)
title('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y')

6 Divergencia del campo vectorial

Dibujar [math]∇·\vec{u}[/math] en [math]t=0[/math]. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de [math]\vec{u}[/math] es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Calculamos la divergencia a través de la siguiente expresión: [math]∇·\vec{u} = \frac{∂}{∂x}(0)+\frac{∂}{∂y}(2/5senx) = 0[/math]

Obtenemos un color uniforme en la gráfica debido al resultado de valor 0. La placa tendrá un color uniforme y no habrá cambio de volumen debido al desplazamiento en ningún punto. Respecto al código realizaremos los pasos que llevamos siguiendo hasta ahora y calcularemos la divergencia con el comando [math]div[/math], añadiendo después la obtención del gráfico.

Divergencia

clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10; 
x=[0:h:10];          
y=[0:h:2];

%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%Calculamos la divergencia
div=Mx.*0+My.*0;

%Representamos la gráfica, no obstante esta tendrá un color uniforme al ser nula
surf(Mx,My,div)
shading flat
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
axis equal
view(2);
title('Divergencia del vector desplazamiento');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar

7 Rotacional del sólido

Calcular [math]|∇ × \vec{u}|[/math] en todos los puntos del sólido en [math]t = 0[/math] y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

El rotacional quedaría: [math]∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & 2/5senx & 0\end{vmatrix} = 2/5cosx \vec{k}[/math]

Siendo el módulo: [math]|∇ × \vec{u}|= 2/5cosx[/math]

Observando la gráfica vemos que el valor del rotacional avanza en función del avance sobre el eje x siendo un incremento oscilatorio. Los puntos que sufren un mayor rotacional son los correspondientes a las posiciones [math]x=0[/math] y [math]x=6,4[/math], y los que menos [math]x=3,2[/math] y [math]x=9,5[/math].

En cuanto al código comenzaremos con el mismo proceso que los anteriores apartados pero esta vez definiremos la variable [math]rot[/math], representando la gráfica en función de este y de las matrices de [math]x[/math] e [math]y[/math].

Rotacional

clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10; 
x=[0:h:10];          
y=[0:h:2];

%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%Cálculo del módulo del rotacional
rot=2/5.*cos(Mx);

%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y')

8 Tensor de tensiones

Definamos [math]ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{y} + ∇\vec{u}^t)/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec{u}[/math] conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]σij[/math] a través de la fórmula [math]σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ[/math] donde [math]1[/math] es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio [math]R^3[/math] y [math]λ[/math], [math]µ[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir [math]\vec{u}[/math] no tiene componente en la dirección de [math]\vec{k}[/math]) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando [math]λ = µ = 1[/math], dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec{i}[/math], es decir [math]\vec{i}· σ ·\vec{i}[/math], las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec{j}[/math], es decir [math]\vec{j} · σ · \vec{j}[/math] y las correspondientes al eje [math]\vec{k}[/math], es decir [math]\vec{k}· σ · \vec{k}[/math] (dibujar las que no son nulas).

Comenzaremos calculando [math]ϵ(\vec{u})[/math] = [math]Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{5}cosx & 0 \\ \frac{1}{5}cosx & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Al conocer de apartados anteriores [math]∇ · \vec{u}[/math], [math]σ[/math] es: [math]σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ = 2·Ԑ(\vec{u})= \begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cosx & 0\\ \frac{2}{5}cosx & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Aplicando esto a las tensiones en las direcciones [math]i[/math], [math]j[/math] y [math]k[/math], obtenemos:

[math]\vec{i}· σ · \vec{i} = \vec{j}· σ · \vec{j} = \vec{k}· σ · \vec{k} = 0 [/math]

Por lo que no se representarán ya que todas tienen un valor nulo.

9 Tensiones tangenciales

Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math], es decir [math]|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|[/math], en [math]t = 0[/math]. Dibujar sólo las que no son nulas.

La fórmula ajuntada en el enunciado permite hallar las componentes de la tensión que experimenta el sólido en cada punto pertenecientes a un plano perpendicular a i⃗. Este únicamente consiste en realizar un producto matricial de la matriz de componentes del tensor en cuestión y la matriz columna de las componentes del vector en la misma base ortonormal.

[math]|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|= |σ·\vec{i}| = |\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cosx & 0 \\ \frac{2}{5}cosx & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}| = |\begin{pmatrix} 0\\\frac{2}{5}cosx\\0 \end{pmatrix}| = \frac{2}{5}cosx [/math]

Realizaremos el código para este apartado de la misma manera que los anteriores, no obstante definiremos la variable ttangencial, siendo esta la tensión tangencial ortogonal al vector unitario i, y representaremos el campo de vectores en función de ella y de las matrices de x e y.

Tensión tangencial

clc
clear
close all
%definición de las variables
h=2/10;
x=(0:h:10);
y=(0:h:2);

%Matriz de x e y
[X,Y]=meshgrid(x,y)

%Tensión tangencial en cada punto
ttangencial=(2/5)*cos(X)

%Representación gráfica
%Como segunda matriz utilizamos ttangencial.*0 para obtener 
%una matriz de ceros del mismo tamaño que ttangencial
quiver(X,Y, ttangencial, ttangencial.*0);
axis equal;
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensión tangencial respecto plano ortogonal a i');
xlabel('X');
ylabel('Y');

10 Tensión de Von Mises

La tensión de Von Mises se define por la fórmula [math]σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}[/math] donde [math]σ_{1}[/math], [math]σ_{2}[/math] y [math]σ_{3}[/math] son los autovalores de [math]σ[/math] (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/MatLab usar el comando eig.m)

Ayudándonos de la gráfica, los máximos se alcanzan en [math]x=0[/math], [math]x=3,2[/math], [math]x=6,4[/math] y [math]x=9,6[/math]. Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises ([math]VonMises[/math]). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.

Tensión de Von Mises

clear
clc
close all
%definición de las variables
h=2/10; 
x=[0:h:10];          
y=[0:h:2];

%matriz de X e Y y de Von Mises
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*X;

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(X);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión 
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
 for j=1:c
  deformaciones=[[0;2/5.*cos(X(i,j));0],[2/5.*cos(X(i,j));0;0],[0;0;0]];
  lamdas=eig(deformaciones);
  tp1=lamdas(1,1);
  tp2=lamdas(2,1);
  tp3=lamdas(3,1);
  MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
 end
end

%graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
axis equal
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
colorbar

11 Campo de fuerzas que actúa sobre la placa

El campo de fuerzas [math]\vec{F}[/math] que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

[math]\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ[/math]

donde [math]∇ · σ[/math] es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz [math]σ[/math]. Calcular la velocidad de propagación de las ondas [math]v[/math] en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que [math]\vec{F} = 0[/math]. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando [math]\vec{a} = 2/5\vec{i}[/math], ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector [math]\vec{u}[/math] es [math]\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))[/math] siendo [math]\vec{a}=2/5 \vec{i} [/math], [math]\vec{d}= \vec{i}[/math] y [math]k=1[/math]. Sustituyendo las componentes dadas quedaría [math]\vec{u}=2/5\vec{i}·sin(\vec{i}+\vec{r0}(x, y)−vt)[/math]

Calculando [math]∇ · σ[/math] queda [math]∇ · σ = -2/5·sinx \vec{j}[/math]

Derivando:

[math]\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)[/math]

[math]\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= 2/5 \vec{i}·v^2·(-sin(\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt))[/math]

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

[math]\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[2/5·(v^2·sin(x − vt))]\vec{i}-[-2/5·sin(x)]\vec{j}=0[/math]

Hallamos el valor de [math]x[/math] igualando la componente [math]\vec{j}[/math] a 0: [math][2/5·sin(x)]\vec{j}=0[/math] cumpliéndose la igualdad cuando [math]x=0[/math] ó [math]x=nπ[/math].

Ahora calculamos el valor de [math]v[/math] sabiendo el de [math]x[/math], igualando la componente [math]\vec{i}[/math] a 0: [math][2/5·(v^2·sin(x − vt))]\vec{i}=0[/math] obteniendo como resultado [math]v=0[/math].

12 Módulo del desplazamiento vertical

Fijado ahora el punto [math](1/2, 1)[/math], calcular el módulo del desplazamiento vertical (dirección [math]\vec{j}[/math]) a lo largo del tiempo en el intervalo [math]t ∈ [0, 10][/math]

Al fijar el punto [math](1/2, 1)[/math] en la ecuación dependiente de [math]\vec{j}[/math] quedaría [math][2/5·sin(1/2)]\vec{j}[/math] dando como resultado [math]0,19mm[/math]