Ecuación Logística (método del trapecio)

Este artículo explica la resolución de la ecuación logística por el método del trapecio. Este es un método implícito cuya diferencia con el método de Euler es que para obtener el siguiente valor de la aproximación a la solución del problema de valor inicial se debe resolver una ecuación algebraica. Este es el principal inconveniente de los métodos implícitos frente a los explícitos.

1 Definición

Usada para simular el crecimiento o decrecimiento de poblaciones, el problema de valor inicial puede definirse como

[math]y' = y\cdot (1-y), \quad t\in(t_0,\infty) [/math]

[math]y(t_0) = y_0[/math]

Donde, t es el tiempo, [math]y(t)[/math] representa el tamaño de la población y [math]y_0[/math] el tamaño de la población en el instante inicial [math]t=t_0[/math].

2 Esquema numérico

El método del trapecio se define como

[math] y_0, \; t_0 [/math]

[math]y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2}\left[ f(t_{n},y_{n}) + f(t_{n+1},y_{n+1}) \right][/math]

La ecuación algebraica a resolver sería

[math]y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2} \left[ y_{n}\cdot(1 - y_{n}) + y_{n+1}\cdot(1 - y_{n+1}) \right][/math]

3 Código en MATLAB

clear all % antes de comenzar
t0=0; tN=4; % el intervalo de tiempo es de 0s a 4s
N=40; h=(tN-t0)/N; %40 intervalos con paso h
y0=1/10; % valor inicial
yy=y0;
y(1)=yy  % inicio del bucle
for n=1:N    
yy= (1/h)*(0.5*h-1+sqrt((1-0.5*h)^2+4*(h/2)*(yy+0.5*h*yy*(1-yy))));    
y(n+1)=yy;
end
t=t0:h:tN;
plot(t,y,'x') % dibujo de la solución

--Gonzalo (discusión) 19:57 8 feb 2013 (CET)

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