Carga crítica de una columna. Grupo 1A
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Carga crítica de una columna biapoyada. Grupo 1A |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | María Ramírez
Ignacio Posada Antonio López-Mateos Pablo Bueno |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
En este estudio analizaremos la deformación a flexión producida por un esfuerzo axil. Para ello vamos a observar los resultados obtenidos en una columna biapoyada. El apoyo inferior se trata de un apoyo articulado, es decir, que contiene esfuerzos axiles y cortantes, sin momentos. El apoyo superior se trata de un apoyo simple, ya que únicamente contiene esfuerzos cortantes, sin axiles ni momentos (el esfuerzo axil de la columna lo aporta la carga).
La base de la teoría de las columnas es la formula de Euler, que fue publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático suizo. Esta fórmula es válida solamente para columnas largas ya que no se tiene en cuenta el movimiento axil. También tenemos que suponer que esta columna es recta, homogénea, y de sección transversal, circular y constante.
Se aplica la ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al limite elástico del material, para evitar fracturas en la estructura de la columna.
La carga critica de pandeo es la carga axial máxima que una columna puede soportar sin producir el pandeo de la misma.
Un esquema representativo sería:
2 Planteamiento matemático
Examinando los datos iniciales del problema, nos encontramos ante una columna vertical larga y esbelta de sección transversal circular uniforme, y de longitud total igual a L. Su eje de simetría, por tanto, ocupa el intervalo espacial [math]x \epsilon [0, L][/math], donde [math]x=0[/math] corresponde al extremo superior de la columna, donde se aplica la carga, y [math]x=L[/math] al extremo inferior de la columna. Sea [math]y(x)[/math] la función elástica o función que expresa la curvatura del eje de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresión o carga [math]P[/math], en su extremo superior (ver figura Apartado 1). Al comparar los momentos flectores en cualquier punto de la columna se obtiene:
\begin{matrix} y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \end{matrix}
Siendo:
· [math]E[/math]: módulo de elasticidad de Young.
· [math]I(x)[/math]: momento de inercia de una sección trasversal respecto a una recta vertical por el centro.
· [math]M(x)[/math]: momento flector.
En el caso de la columna, el momento depende de la deflexión, de manera que: [math]M(x)=-Py(x)[/math].
Por tanto, sustituyendo la fórmula del momento flector en la ecuación inicial: \[\begin{array}{crl}
\\
y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)=\frac{-Py(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\
\\
\end{array}\] Para poder resolver este problema de contorno faltarían las condiciones de contorno que serían: [math] \left\{\begin{matrix} y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math] ya que en los extremo de la viga: [math]x=0[/math] y [math]x=L[/math] tiene deflexión cero.
Por tanto, el problema de contorno planteado para resolver el ejercicio sería:
[math] \left\{\begin{matrix} y''(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\ y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math]
3 Estabilidad de la columna
Vamos a estudiar ahora la estabilidad de la columna en función de la carga P aplicada. El problema que tenemos que resolver para determinar los valores de P que proporcionan estabilidad a la misma, o lo que es lo mismo, los puntos donde la columna no flecta,es el problema de contorno ya planteado en el Apartado 2:
[math] \left\{\begin{matrix} y''(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\ y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math]
Con el problema de contorno ya planteado, nos disponemos ahora a resolverlo por los procedimientos conocidos.
(Nota: para facilitar los cálculos, sustituimos las variables que dependen de x por variables independientes, como una herramienta de cálculo, esto es [math]y(x)=y[/math], [math]I(x)=I[/math]).
Por tanto, el problema quedaría
\[\begin{array}{crl}
\\
E Iy+Py=0 \\
\\
\end{array}\]
Resolución:
\[\begin{array}{crl}
\\
E Iy+Py=0 \Longrightarrow E Ir^2+P=0 \Longrightarrow r^2=\frac{-P}{E I}=0 \Longrightarrow r=\; \pm\;\sqrt{\frac{P}{E I}} i \\
\\
\end{array}\] La solución general de la ecuación diferencial homogénea será \[\begin{array}{crl}
\\
y\;= y(x)\; =\; A\; cos\; \left(\sqrt{\frac{P}{E I}} x\right) + \; B\; sin\; \left(\sqrt{\frac{P}{E I}} x\right) = 0\\
\\
\end{array}\]
Teniendo en cuenta las condiciones de contorno iniciales [math]y(0)=0[/math] y [math]y(L)=0[/math] y que, por definición, se dice que una columna es estable si la única solución posible de la función elástica [math]y(x)[/math] es la trivial, [math]y(x)=0[/math], sustituimos dichos valores en la solución general obtenida.
Para [math]y(0)=0[/math] \[\begin{array}{crl}
\\
y(0)\; =\; A\; cos\; (0) + \; B\; sin\; (0) = 0 \Longrightarrow y(0)\; =\; A\; 1 + \; B\; 0 = 0\\
\\
\end{array}\]
Sabiendo que la solución de [math]y(0)[/math] tiene que ser 0, se llega a la conclusión de que, para que se cumpla la ecuación, tiene que ocurrir que [math]A=0[/math] necesariamente.
Por otro lado, para [math]y(L)=0[/math] \[\begin{array}{crl}
\\
y(L)\; =\; 0\; cos\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) + \; B\; sin\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) = 0 \Longrightarrow y(L)\; =\; 0\ + \; B\; sin\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) = 0\\
\\
\end{array}\]
Como se puede comprobar, [math]y(L)=0[/math], implica que [math]\; B\; sin\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) = 0[/math]. Si [math]B=0[/math], se tiene [math]y=0[/math], pero, si [math]B ?0[/math], entonces [math]sin\; \left(\sqrt{\frac{P}{E I}} x\right) = 0[/math]. La última condición indica que, para que la igualdad planteada se cumpla, el argumento de la función seno ha de ser un múltiplo entero de p. \[\begin{array}{crl}
\\
\sqrt{\frac{P}{E I}} L= np \Longrightarrow {\frac{P}{E I}}= {\frac{n^2p^2}{L^2}} \\
\\
\end{array}\] Por lo tanto, para todo real B distinto de cero, es una solución del problema para cada n. Puesto que la ecuación diferencial es homogénea, y ya hemos supuesto que [math]sin\; (\frac{npx}{L})= 0[/math], no necesitamos escribir B si así lo deseamos, por lo que la ecuación nos quedaría \[\begin{array}{crl}
\\
y = sin\; \left(\frac{npx}{L}\right) \\
\\
\end{array}\]
Volviendo a la ecuación anteriormente obtenida, buscamos hallar el valor de P donde la columna se desvía. Esto sólo ocurre cuando la fuerza de compresión toma algunos de los valores de dicha ecuación. Esas fuerzas se llaman cargas críticas, que corresponden a la ecuación
\[\begin{array}{crl}
\\
\sqrt{\frac{P}{E I}} L= np \Longrightarrow {\frac{P}{E I}}= {\frac{n^2p^2}{L^2}} \Longrightarrow P_{cr}\; = {\frac{n^2p^2EI}{L^2}} \\
\\
\end{array}\] Suponemos, según los datos proporcionados, que el módulo de elasticidad de Young es [math]E=1[/math], que la sección de la columna circular es de radio constante [math]R=1\ m[/math], que su densidad es [math]\rho=1\ Kg/m^3[/math], que la longitud total de la columna es [math]L=10\ m.[/math] y que el momento de inercia de una sección circular trasversal respecto a una recta vertical por el centro es [math]I = {\frac{pr^4}{2}}[/math]. Por tanto, la nueva ecuación de [math]P_{cr}[/math] quedaría expresada así \[\begin{array}{crl}
\\
P_{cr}\; = {\frac{n^2p^3r^4}{2L^2}} \\
\\
\end{array}\]
El número natural n representa el número de apoyos fijos que posee la columna, por lo que en nuestro caso [math]n=1[/math]. Según este último dato, sustituyéndolo en las ecuaciones anteriormente halladas,obtenemos que \[\begin{array}{crl}
\\
P_{cr}\; = {\frac{p^3r^4}{2L^2}} \\
\\
\end{array}\] \[\begin{array}{crl}
\\
y(x) = sin\; \left(\frac{px}{L}\right)\\
\\
\end{array}\] donde [math]P_{cr}[/math] corresponde a la mínima carga crítica de la columna e y(x) a la curva de deflexión correspondiente a dicha carga crítica mínima, conocida también como Carga de Euler.
3.1 Representación gráfica de Pcr según el Radio
A continuación, representamos la función de Pcr que hemos hallado en el aparatado anterior para un valor del radio entre 1 y 5 metros. Esta función nos dará los valores de Pcr o carga crítica más pequeños posibles para cada uno de los radios, o lo que es lo mismo, los valores de la carga P donde la columna deja de ser estable en función del tamaño que tome el radio de la columna.
clc, clear
clear all
%Datos del problema:
L=10;
R=1:0.1:5;
%Función a representar:
Pcr=(pi.^3*R.^4)/(2*L.^2);
plot(R,Pcr,'r')
xlabel('Valor del radio (m)')
ylabel('Valor de Pcr')
