La catenaria. Grupo 9

De MateWiki
Saltar a: navegación, buscar
Trabajo realizado por estudiantes
Título La catenaria. Grupo 9
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2024-25
Autores
  • Pablo Fernández Tejedor
  • Alicia Puerta Mir
  • Judit de la Torre Martín
  • Francisco de Asís Álvarez Romero
  • Julián Ulanovsky Garzón
  • Rania Sofía Patiño Salazar
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

En este trabajo se realizará un análisis detallado de la curva cuya parametrización en coordenadas cartesianas es:

γ(t) = (x(t), y(t)) = (t, A cosh(t/A)), t ∈ (−1, 1), A > 0.

En concreto, a lo largo de este trabajo el valor de A será igual a 2 de forma constante.

Esta curva es un tipo de catenaria cuya fórmula es: y = acosh(a/x)

Donde (y) es la altura de la curva, (x) es la distancia horizontal desde el punto más bajo de la curva, (a) es una constante que determina la "apertura" de la catenaria, y (cosh) es la función coseno hiperbólico.

Esta fórmula se deriva de la ecuación de la forma hiperbólica: cosh(x)= (ex + e-x)/2; se origina en el estudio de la física y la matemática, y fue desarrollada por el matemático alemán Johann Bernoulli en el siglo XVII.

Esta curva aparece cuando una cadena flexible e inextensible se suspende de manera que sus extremos están fijos en posiciones diferentes. La diferencia entre la catenaria es relevante en la ingeniería pues a diferencia de una parábola, la catenaria tiene propiedades especiales relacionadas con la minimización de energía potencial.

center

La comprensión de la curva catenaria es crucial en la ingeniería, ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas.

En este trabajo, exploraremos en profundidad la naturaleza de la curva catenaria, su derivación matemática, y cómo se aplica en diversas disciplinas de la ingeniería, destacando su importancia en el diseño y la construcción de estructuras modernas

2 Curva: la catenaria

La Curva "La Catenaria" se representa de la siguiente forma:

Representación gráfica de la catenaria
%Parametrización de la catenaria.
A=2;
t=linspace(-1,1,100);        %Discretización del intervalo.
x=t;
y=A*cosh(t./A);

%Representación de la curva.
plot(x,y,'r','LineWidth',1)

%Etiquetas.
title('Gráfica 1: Catenaria')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('La Catenaria')
legend('Catenaria');
axis equal
grid on


3 Vectores velocidad y aceleración

3.1 Curva [math] \gamma(t) [/math] en el plano.

La curva está parametrizada en coordenadas cartesianas como:

[math]\gamma(t) = \left(x(t),y(t)\right) = \left(t,A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right) = t \vec i + A\cosh\left(\frac{t}{A}\right) \vec j ,[/math]

con [math]A\gt0[/math] y [math]A=2[/math] en este caso. Por lo tanto, la parametrización específica de la curva es:

[math]\gamma(t) = \left(x(t),y(t)\right) = \left(t,2\cosh\left(\frac{t}{2}\right)\right) = t \vec i + 2\cosh\left(\frac{t}{2}\right) \vec j ,[/math]

y el parámetro [math]t[/math] varía en el intervalo [math](-1, 1).[/math]

3.2 Vector velocidad.

El vector velocidad [math] \gamma'(t) [/math] es la derivada con respecto al tiempo del vector posición.

[math] \gamma'(t) = \vec i + \sinh\left(\frac{t}{2}\right) \vec j [/math]

3.3 Vector aceleración.

El vector aceleración [math] \gamma''(t) [/math] es la derivada segunda de la posición con respecto al tiempo (derivada de la velocidad con respecto al tiempo).

[math] \gamma''(t) = \frac{1}{2}\cosh\left(\frac{t}{2}\right) \vec j[/math]

Los vectores velocidad y aceleración se representan gráficamente usando el siguiente código: 

% Parámetros de la curva
t = linspace(-1, 1, 100);
A = 2;  % Valor de A
x = t;
y = A * cosh(t / A);

% Cálculo de los vectores velocidad y aceleración
dxdt = 1;
dydt = sinh(t / A);
d2ydt2 = 0.5 * cosh(t / A);

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;

% Graficar los vectores de velocidad y aceleración en puntos específicos
n_points = 10;  % Número de puntos en los que se grafican los vectores
sample_points = linspace(-1, 1, n_points);

for i = 1:n_points
    t_i = sample_points(i);
    % Coordenadas de los vectores de velocidad y aceleración
    v_x = 1;
    v_y = sinh(t_i / A);
    a_x = 0;
    a_y = 0.5 * cosh(t_i / A);
    
    % Graficar vector de velocidad
    quiver(t_i, A * cosh(t_i / A), v_x, v_y, 'r', 'AutoScale', 'on', 'MaxHeadSize', 0.5);
    
    % Graficar vector de aceleración
    quiver(t_i, A * cosh(t_i / A), a_x, a_y, 'g', 'AutoScale', 'on', 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% Configuración de la gráfica
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Curva y Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Vector de Velocidad', 'Vector de Aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off;
Vectores velocidad y aceleración

4 Longitud de la curva

La integral de línea se define:

[math]\int_\gamma f \,ds=\int_{t_1 }^{t_2}f\left(\overline{\gamma}(t)\right)\left|\overline{\gamma}'(t)\right|dt[/math].

Para calcular la longitud de una curva hay que tomar el campo escalar constante:

[math]f=1[/math]

El vector velocidad (su módulo):

[math] \overline{v}(t)= \overline{\gamma}'(t)=\left( \frac{dx_1 }{dt},\frac{dx_2 }{dt}\right) [/math].

La parametrización de la catenaria:

[math] \overline{\gamma}(t)=\left( t,A\cosh\left(\frac{t}{A}\right) \right) [/math].

Por lo tanto:

[math] \overline{\gamma}'(t)=\left( 1,\sinh\left(\frac{t}{A}\right) \right)[/math]

y su módulo:

[math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{A}\right)}[/math]

Echando mano de la identidad hiperbólica:


[math] \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\to \cosh^2(x)=1+\sinh^2(x)[/math]


sabemos que:

[math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right) [/math].

El intervalo dado es:

[math]t\in [t_1,t_2]=t\in[-1,1][/math] y [math] A=2[/math]

Ya se conocen todos los datos necesarios para realizar el cálculo.

[math] \int_{-1}^{1}\left| \overline{\gamma}'(t) \right|dt=\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{A}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \to 2 \int_{0}^{1} \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \, dt = 2A \sinh\left(\frac{t}{A}\right) \bigg|_0^1 = 2A \sinh\left(\frac{1}{A}\right) \approx 2.0844[/math].

5 Vectores tangente y normal

5.1 Vector tangente

El vector velocidad indica los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por [math]γ(t)[/math], por ende, para obtener los vectores tangentes unitarios se debe dividir por el módulo. [math] \vec{t}(t) = \frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|} = \frac{x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} = \frac{1}{\cosh(t/2)}\left(\vec{i} + \sinh(t/2)\vec{j}\right) [/math] 


% Parametrización de la curva catenaria con A = 2
t = linspace(-1, 1, 100); % Valores de t entre -1 y 1
x = t; % x(t) = t
y = 2 * cosh(t / 2); % y(t) = 2cosh(t/2)

% Vectores tangentes unitarios
t1i = (t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2))
t2i=sinh(t/2)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2))

% Gráfica de la catenaria y los vectores tangentes
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2); % Dibuja la curva
quiver(x, y, t1i, t2i, 'r'); % Vectores tangentes
hold off

% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas y formato
title('Vector tangente unitario')
legend('Catenaria', 'Vectores tangentes unitarios')
axis equal
box on
grid minor
Vector tangente

5.2 Vector normal

Los vectores normales se consiguen al rotar los vectores tangentes un ángulo determinado de [math]\frac{\pi}{2}[/math]. Esto los convierte en vectores ortogonales. Para su cálculo, se usa la matriz de rotación correspondiente al ángulo \(\theta = \frac{\pi}{2}\):


[math]\begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) & \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y'(t) \\ x'(t) \end{pmatrix}[/math].


De esta forma, el vector normal \(\vec{n}(t)\) se calcula como:

[math] \vec{n}(t) = \frac{-y'(t)\vec{i} + x'(t)\vec{j}}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}}[/math].


En el caso particular de esta parametrización, el resultado es:

[math] \vec{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2(t)}} \left(-\sinh(t)\vec{i} + \vec{j}\right). [/math] 


% Definición de los parámetros
a = -1; % Inicio del intervalo de t
b = 1; % Fin del intervalo de t
h = 0.09; % Incremento para t
t = a:h:b; % Vector de valores de t

% Definición de la curva
x = t; % x(t) = t
y = 2 * cosh(t / 2); % y(t) = 2cosh(t/2)
% Vectores normales unitarios orientación interior
n1i=sinh(t/2)./(cosh(t/2))
n2i=-(t./t)./(cosh(t/2))
% Vectores normales unitarios orientación exterior
n1e =-sinh(t/2)./(cosh(t/2))
n2e=(t./t)./(cosh(t/2))
% Gráfica de la catenaria y los vectores normales
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2); % Dibuja la curva
quiver(x, y, n1i, n2i, 'r'); % Vectores normales interiores
quiver(x, y, n1e, n2e, 'b'); % Vectores normales exteriores
hold off

% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas y formato
title('Vectores normales')
legend('Catenaria', 'Vector normal interior', 'Vector normal exterior')
axis equal
box on
grid minor


Vector normal

6 Curvatura

La curvatura \(\kappa(t)\) retrata cómo, en torno al punto \(\gamma(t)\), la curva se aproxima al área de circunferencia de la curvatura \(\kappa(t)\). Esto implica que evalúa el desvío de la curva en relación a ser una línea recta en cada uno de sus puntos.

Para su cálculo se utiliza la siguiente fórmula:

[math] \kappa(t) = \frac{x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}. [/math]

En este caso particular, el resultado es:

[math] \kappa(t) = \frac{\cosh(t/2)}{2 \cdot \left(1 + \sinh(t/2)\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 \cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)} [/math] 

n=100;
t=linspace ( -1 , 1 , n) 
k = 1 ./ (2 .* (cosh(t / 2)).^2);
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura k(t). ') ;
xlabel('t');
ylabel('\k(t)');
grid on


Curvatura k

7 Circunferencia osculatriz

7.1 Propiedades circunferencia osculatriz

Una circunferencia osculatriz a una curva es aquella que, en un punto específico, tiene la misma curvatura que la curva y cuyo centro se sitúa en la recta normal a esta en el punto dado. En este punto y sus proximidades, la circunferencia nos proporciona una gran aproximación de la curva.

7.2 Cálculo radio y centro circunferencia osculatriz

En el caso de la catenaria [math] γ(t) [/math] siendo t=0.5 se obtiene el siguiente centro:

[math]\vec{C}(t) = \vec{\gamma}(t) + \frac{1}{\kappa(t)} \cdot \vec{n}(t)[/math] [math]=\begin{pmatrix} t \\ 2\cosh\left(\frac{t}{2}\right) \end{pmatrix} + 2\cosh^2\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \frac{1}{\cosh\left(\frac{t}{2}\right)} \begin{pmatrix} -\sinh\left(\frac{t}{2}\right) \\ 1 \end{pmatrix}[/math]

Obteniendo:

[math]\vec{C}(0.5) = \begin{pmatrix} -0.0211 \\ 4.1256 \end{pmatrix}[/math]

Para obtener el radio de la circunferencia osculatriz, se necesita la curvatura de la catenaria calculada en el apartado anterior. Así, el radio, será la inversa de esta.

Como: [math]\kappa(t) = \frac{1}{2 \cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)}[/math]

El radio obtenido es el siguiente:

[math]r(0.5) = \frac{1}{\kappa(0.5)} = \frac{1}{0.4700} = 2.1276[/math]


7.3 Representación gráfica circunferencia osculatriz

El código utilizado para representarla fue el siguiente: 

% Parametrización catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
xcat = t;
ycat = 2 * cosh(t / 2);

% Obtención radio y centro de curvatura
t_circ = 0.5;
K = 1 / (2 * (cosh(t_circ / 2))^2);
r = 1 / K; % radio
norm = (1 / (cosh(t_circ / 2))) * [-sinh(t_circ / 2), 1];
C = [t_circ, 2 * cosh(t_circ / 2)] + (1 / K) * norm; % Centro de curvatura

% Parametrización circunferencia
theta = linspace(0, 2 * pi, 100);
xcirc = C(1) + r * cos(theta);
ycirc = C(2) + r * sin(theta);

% Dibujo circunferencia y catenaria
figure;
hold on;
plot(xcirc, ycirc);
plot(xcat, ycat);
axis equal;
grid on;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y catenaria');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off;

legend(['Circunferencia', 'Catenaria']);

El resultado obtenido es el siguiente:

Circunferencia osculatriz

8 Fenómeno descrito y aplicaciones en la ingenieria

8.1 Fenómeno que describe

Fenómeno descrito de la catenaria

8.1.1 Catenaria

La curva catenaria es una forma geométrica fascinante que se presenta cuando un cable flexible, como una cadena o una cuerda, se cuelga entre dos puntos bajo la influencia de la gravedad. Esta curva no solo es un fenómeno natural, sino que también tiene aplicaciones significativas en el campo de la ingeniería, especialmente en la construcción de puentes, arcos y estructuras de soporte.

8.1.2 Propiedades físicas

La catenaria es la solución al problema de encontrar una curva que minimice la energía potencial gravitatoria de un cable homogéneo suspendido. Tiene una relación estrecha con las superficies mínimas, ya que la revolución de una catenaria genera una superficie llamada catenoide, que es una superficie mínima.

8.2 Relevancia en ingeniería

8.2.1 Puentes colgantes y estructuras

En ingeniería civil, los cables que soportan los puentes colgantes siguen, aproximadamente, la forma de una catenaria bajo su propio peso. Ejemplos famosos son:

  • El Golden Gate Bridge en San Francisco
center
  • El Puente de Brooklyn en Nueva York.
center
  • El Puente Colgante de Clifton, que une las localidades de Clifton (Brístol) con Leigh Woods (North Somerset) en Inglaterra.
Puente Colgante de Clifton

8.2.2 Diseño arcos y cubiertas

Los arcos construidos siguiendo la forma de una catenaria son extremadamente estables bajo cargas uniformes. Esto se debe a que la curva catenaria distribuye las fuerzas de compresión de manera óptima. Por ejemplo:

  1. El diseño del Arco Gateway en St. Louis, EE. UU., sigue una forma catenaria invertida.
center

8.2.3 Transmisión de energía

Las líneas eléctricas suspendidas entre torres de alta tensión también adoptan una forma similar a la catenaria debido a su peso y la tensión en los cables. La catenaria también se emplea en la vías de ferrocarril electrificadas, donde cumple la función de suministrar la energía eléctrica al pantógrafo de los trenes. En dichas vías, la curva cuelga sometida a su propio peso de unas estructuras verticales llamadas también catenarias.

Catenaria en la línea de tren Villalba-Cercedilla.

9 Catenaria y parábola

La catenaria y la parábola son curvas que provienen de funciones completamente distintas. Sin embargo, al ser representadas, podemos observar que son muy similares por la forma de "U" característica de ambas. Tan similares son que a lo largo de la historia matemáticos, físicos e ingenieros como Galileo Galilei o Leonardo da Vinci, pensaban que se trataba de la misma curva. No fue hasta finales del siglo XVII, con el desarrollo del cálculo, que se consiguió hallar la ecuación de la catenaria. Los artífices del descubrimiento que puso fin a la conjetura de la catenaria y la parábola, fueron los matemáticos Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli y Christiaan Huygens.

9.1 Código de MATLAB

A=2;
t=linspace(-1,1,100);
f=A*cosh(t/A);
g=A+(t.^2)/(2*A);
%Declaración de Variables y funciones
gamma='Catenaria: $$ \gamma(t)= \left( t,A\cosh(\frac{t}{A}) \right)  $$ ';
delta='Parabola: $$ \delta(t)=\left( t,A+\frac{t^2}{2A} \right)  $$';
%Necesario para expresar la leyenda en LaTeX
x=plot(t,f,'color',[0.6350 0.0780 0.1840],'linewidth', 1.5);
hold on
y=plot(t,g,'color',[0 0.4470 0.7410],'linewidth', 1.5);
%grafica de las funciones a color concreto
titulo=title('Catenaria vs. Parábola');
fontsize(titulo,20,'points')
%Título
leyenda=legend(gamma,delta,'interpreter','latex','location','north');
fontsize(leyenda,12,'points')
ejex=xlabel('$$ x(t) $$', 'interpreter','latex');
fontsize(ejex,13,'points')
ejey=ylabel('$$ y(t) $$', 'interpreter','latex','rotation',0);
fontsize(ejey,13,'points')
%Leyenda y ejes escritos en LaTeX
hold off
x.MarkerFaceColor = [0.6350 0.0780 0.1840];
y.MarkerFaceColor = [0 0.4470 0.7410];
%Definición de los colores para las funciones


9.2 Gráfico

Catenariavsparabola.png

En este gráfico podemos observar la catenaria (en rojo) y la parábola (en azul). Viendo solamente la representación gráfica de ambas podemos afirmar que son extremadamente parecidas. Al menos en las condiciones dadas.

9.3 Por qué se asemejan

Visualmente las curvas se asemejan debido a su forma de "U", simetría par y que se se abren en la misma dirección. Matemáticamente es posible demostrar esta similitud mediante una serie de Taylor. Cabe resaltar que solamente en condiciones limitadas la catenaria puede aproximarse a una parábola. Esto ocurre cuando la distancia entre sus extremos es similar a la profundidad de la curva.

Esta observación encaja perfectamente con la catenaria dada:

[math] f(x)=A\cosh(\frac{x}{A})[/math]

y la parábola dada:

[math] g(x)=A+\frac{x^2}{2A}[/math]

Para demostrar el parecido entre las curvas vamos a usar el polinomio de Taylor:

[math] T_n(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n [/math]

Pero en este caso al trabajar en un entorno cercano al 0 vamos a trabajar solamente con los tres primeros términos. Es decir el polinomio de Taylor de orden 2:

[math] T_2(x)=\sum_{n=0}^{2}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2= [/math]

Al aplicarlo a la función de la catenaria dada:

[math] =A\cosh(0)+\frac{A}{A}\sinh(0)(x-0)+\frac{A\cosh(0)(x-0)^2}{2!A^2}=A+\frac{x^2}{2A} [/math]

da como resultado una función idéntica a la de la parábola dada.

Si vamos un poco más allá y calculamos el polinomio de Taylor de grado 4 (no el de grado 3 ya que evaluado en 0 todas las derivadas de índice impar de la función son nulas) podemos hallar por cuanto difieren las funciones. No tiene sentido ir más allá en la serie ya que el siguiente término tendrá un orden de magnitud de [math] -5 [/math] (cerca de [math] 10^{-5} [/math]).

[math]T_4(x)=A+\frac{x^2}{2A}+\frac{x^4}{4!A^3}= 2+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{192}[/math]

Restamos las funciones:

[math] T_4(x)-g(x)=\frac{x^4}{192}[/math]

En el intervalo [math] x \in [-1,1] [/math] la resta toma un valor máximo de [math] \frac{1}{192}=5.2*10^{-3} [/math]. Este es un valor pequeño que indica que la aproximación es buena. De esta manera, queda más que demostrado que las funciones son muy parecidas en las condiciones presentadas al principio.

10 Superficie de revolución: el catenoide

10.1 Parametrización e importancia del catenoide

El catenoide es una superficie mínima o superficie minimal. Estos elementos bidimensionales tienen la propiedad de minimizan localmente su superficie, teniendo en cuenta algunas restricciones. Esto quiere decir que cualquier deformación por pequeña que sea aumentaría su superficie. Este tipo de superficies fueron propuestas en el siglo XVIII por Lagrange mediante una ecuación diferencial, pero no se probó que el catenoide pertenecía a esta familia hasta unos años más tarde.

La parametrización de la catenaria en coordenadas cartesianas en \( \mathbb{R}^3 \) es la siguiente:

[math] \gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, \cosh(t), t), \quad t \in (-1, 1) [/math]

Para obtener la superficie, se parametriza el catenoide de la siguiente manera:

[math] \phi(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (\cosh(u) \cdot \cos(v), \cosh(u) \cdot \sin(v), u) [/math]

10.2 Representación gráfica del catenoide

Catenoide
% Parametrización de la superficie
u=linspace(-1,1,100)
v=linspace(0,2*pi,100)
[U,V]=meshgrid(u,v)
X=cosh(U).*cos(V)
Y=cosh(U).*sin(V)
Z=U
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X,Y,Z)
title('Superficie de Revolución de la catenaria: catenoide');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
axis equal;
shading flat;
grid on;


10.3 Aplicaciones del catenoide en ingeniería civil

El catenoide se aplico en una gran cantidad de obras en la ingeniería civil. El hecho de que sea una superficie minima, permite reducir costos y es muy útil sobre todo en techos y membranas tensadas. Los siguientes son ejemplos de obras en las que se utilizo (en parte) esta superficie:


Puente de la Barqueta. Sevilla, España
Parametric Lampchairs. Venecia, Italia
Pabellón Philips. Bruselas, Bélgica

11 Masa de la catenaria.

11.1 Densidad de la superficie.

La función de densidad en la superficie está dada por: [math]f(x_1, x_2, x_3) = (x_1^2 + x_2^2) x_3^2[/math].
Esta función describe cómo varía la densidad en cada punto de la superficie. Depende de las tres coordenadas [math]x_1, x_2[/math] y [math]x_3[/math], pero como la curva está en el plano [math]x, y[/math], la coordenada [math]x_3[/math] correspode a [math]y(t)=\left(t,2\cosh\left(\frac{t}{2}\right)\right)[/math], así que podemos sustituir [math]x_1=t[/math], [math]x_2(t)=\left(t,2\cosh\left(\frac{t}{2}\right)\right)[/math] y [math]x_3(t)=\left(t,2\cosh\left(\frac{t}{2}\right)\right)[/math].

11.2 Distribución de la densidad a lo largo de la curva.

Sustituyendo [math]x_1=t[/math], [math]x_2(t)=\left(t,2\cosh\left(\frac{t}{2}\right)\right)[/math] y [math]x_3(t)=\left(t,2\cosh\left(\frac{t}{2}\right)\right)[/math] en la fórmula de la densidad, obtenemos:

[math]​f(t)=\left(t^2+\left(2cosh\left(\frac{t}{2}\right)\right)^2\right)\left(2cosh\left(\frac{t}{2}\right)\right)^2.[/math]

Simplificando:

[math]​f(t)=\left(t^2+4cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)·4cosh^2\left(\frac{t}{2}\right).[/math]​

11.3 Cálculo de la masa de la superficie.

La masa M de la superficie se calcula utilizando la fórmula:
[math]​M = \int_{-1}^{1} f(x_1(t), x_2(t), x_3(t))\left| \overline{\gamma}'(t) \right| dt.[/math]​

Donde:

  • [math]{\gamma}(t)= \left(t, 2cosh\left(\frac{t}{2}\right)\right)[/math],
  • La norma de la derivada [math]\left| \overline{\gamma}'(t) \right|[/math]


Derivada de [math]{\gamma}(t)[/math]:

[math]{\gamma}'(t)= \left(1, sinh\left(\frac{t}{2}\right)\right),[/math] por lo tanto, la norma de la derivada es:

[math]\left| \overline{\gamma}'(t) \right|= \sqrt{1^2+\left(sinh\left(\frac{t}{2}\right)\right)^2}= \sqrt{1+sinh^2\left(\frac{t}{2}\right)}= cosh\left(\frac{t}{2}\right).[/math]

Integral de la masa
Entonces, la masa de la superficie es:

[math]​M = \int_{-1}^{1} \left(t^2+4cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)·4cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)·cosh\left(\frac{t}{2}\right) dt.[/math]​

Simplificando, obtenemos:

[math]​M = \int_{-1}^{1} \left(t^2+4cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)·4cosh^3\left(\frac{t}{2}\right) dt.[/math]​

11.4 Evaluación de la integral.

Si la superficie es complicada de parametrizar o si la integral es difícil de resolver analíticamente, se puede usar el método de Fubini y el método del rectángulo para aproximar la integral.

El método consiste en dividir la superficie en pequeños rectángulos o celdas, calcular el valor de la función de densidad en cada celda y sumarlos para obtener una aproximación de la masa total.

Aquí hay una forma de aproximar la masa usando MATLAB:

  • Dividir el dominio de integración en una malla de puntos.
  • Evaluar la función de densidad en cada punto de la malla.
  • Multiplicar cada valor de densidad por el área correspondiente de cada celda (para el método del rectángulo).
  • Sumar los resultados.


Se ha utilizado el siguiente código: 

% Parámetros de la malla
num_points_x = 100;  % Número de puntos en la dirección x1
num_points_y = 100;  % Número de puntos en la dirección x2

% Definir el rango de la superficie (ajustar según el problema específico)
x1_min = -1; x1_max = 1;
x2_min = -1; x2_max = 1;

% Crear malla de puntos en x1 y x2
x1 = linspace(x1_min, x1_max, num_points_x);
x2 = linspace(x2_min, x2_max, num_points_y);
[X1, X2] = meshgrid(x1, x2);

% Definir la función de densidad f(x1, x2, x3)
% Suponiendo que x3 es una función de x1 y x2, por ejemplo, x3 = sqrt(x1^2 + x2^2)
% Ajustar esto según la superficie real que estás considerando
x3 = sqrt(X1.^2 + X2.^2);
f = (X1.^2 + X2.^2) .* x3.^2;

% Calcular el área de cada celda de la malla
dx1 = (x1_max - x1_min) / (num_points_x - 1);
dx2 = (x2_max - x2_min) / (num_points_y - 1);
dS = dx1 * dx2;

% Aproximar la masa de la superficie
M = sum(f(:)) * dS;

% Mostrar el resultado
disp(['La masa aproximada de la superficie es: ', num2str(M)]);

11.5 Resultado de la integral.

De aplicar el anterior código obtenemos que el valor aproximado de la masa es: 2.6428kg.[math][/math]

12 Referencias


1.https://www.youtube.com/watch?v=gWjVQXsJ9Fk. Circunferencia osculatriz.

2.https://repositorio.unican.es/xmlui/bitstream/handle/10902/22955/PerezDeDiegoBarbara-TFG-Matematicas.pdf?sequence=1. Superficies minimales.

3.https://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Chip%20geom%C3%A9trico/Catenaria.pdf. Información sobre la catenaria.

4.

Obtenido de «https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_catenaria._Grupo_9&oldid=82186»