Ecuación de Ondas Grupo 18-A

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Lucas Fabretti Torino Fernando Marín López-Santa Cruz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Ecuación de onda

Se considera un cable de longitud L = 10 m con sus extremos fijados. Se desprecia la sección frente a la longitud y se admite que se pueden modelizar sus vibraciones mediante la ecuación de ondas. Sea U(x,t) el desplazamiento vertical a largo del tiempo, entonces:

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(t) 
U(10,t) = h(t)
U(x,0) = i(x)
Ut(x,0) = j(x)

2 Modelización por el método del trapecio

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta. Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t=[0,40].

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(t) =0
U(10,t) = h(t)=0
                                    3x/10    ∈ x<3
U(x,0) = i(x)= función a trozos =              
                                     3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
Ut(x,0) = j(x)=0

3 Modelización por los métodos de Euler explícito y Heun

3.1 Método de Euler explícito

El código por el método de Euler explícito:

3.2 Método de Heun

La resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicación de Heun es la siguiente:

4 Representación de la energía del cable

Para dibujar la energía del cable en una gráfica usamos la siguiente expresión

mediante el método de diferencias finitas

Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es cierta reducción del periodo de oscilación de la energía, es decir, la energía tarda menos en pasar de unos valores a otros. Los valores entre los que oscila la energía no varían prácticamente de un paso a otro, como era de esperar. El programa ofrece una energía máxima de E=1.5907 para 'h' y E=1.5954 para 'h/2'.

5 Cable sumergido en un medio viscoso

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamiento del medio. A continuación se dibujan las gráficas de la energía para a= 0,1,4,10,100

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

Se observa que para el caso 'a=0', es decir, sin amortiguamiento, la energía oscila de forma similar a como lo hace en los ejercicios anteriores manteniéndose acotada entre dos valores, mientras que para amortiguamientos distintos a 'a=0' se produce un descenso importante de energía a lo largo del tiempo.

6 Energía del cable sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot) Hz. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

Las conclusiones que se pueden sacar de la representación del gráfico es que al aplicar una fuerza con una frecuencia cercana a 2pi la energía va aumentando ligeramente, es decir que la frecuencias no se parecen demasiado pero aun así la energía se va "acumulando" poco a poco. En cambio con la frecuencia inversa a la longitud del cable hace aumentar la energía de forma mas drástica y casi exponencial. Puede estar relacionado con la frecuencia propia del cable.

7 Energía del cable sujeto a un aparato que envía una respuesta frente a la vibración

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

Para el valor b=2 se muestra un cable con una energía que oscila sin ningún patrón aparente entre dos valores acotados, en cambio para el valor b=-2 se muestra un cable estático y con poca energía al principio la cual se dispara según avanza el tiempo dando valores inmensamente grandes que obviamente no pueden ser correctos.

8 Resolución por el método de Fourier

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el ejercicio 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(t) =0
U(10,t) = h(t)=0
                                    3x/10    ∈ x<3
U(x,0) = i(x)= funcion a trozos =              
                                     3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
Ut(x,0) = j(x)=0