El Vórtice de Rankine (Grupo47)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El Vórtice de Rankine. Grupo47
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Historia

La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

3 Representación del flujo

3.1 Circulación

3.1.1 Definición

La circulación es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce la siguiente función: [math]v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases} [/math], en este caso para obtener la circulación tendremos que aplicar la siguiente igualdad: [math]\rho = \text{R}[/math]

Al remplazarlo en la siguiente función: [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho \;[/math]. Obtendremos la siguiente ecuación: [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math].

Es decir:

[math]{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R [/math]

3.1.1.1 Calculos

Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

[math]R = 250m[/math]

[math]v_{\theta} = 90m/s[/math]

Al remplazar obtenemos el siguiente calculo:

[math]{\Gamma} = 2 \ pi \ 250 \ 90[/math]

Finalmente obtenemos la circulación:

[math]{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} [/math] o bien [math]{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} [/math]

3.1.2 Velocidad tangencial

3.1.2.1 Definición

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización. Si la trayectoria viene dada por [math]\vec{r}(t)[/math], el vector velocidad es [math]\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)[/math], y la velocidad tangencial se define como:

[math]v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert[/math]

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo y lleva la dirección del vector tangente unitario:

[math]\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}[/math]

3.1.2.2 Cálculos

El Vórtice de Rankine es un modelo idealizado de flujo rotacional que combina un núcleo de rotación sólida (un vórtice forzado) con un flujo de vórtice libre en la región exterior.

Datos Iniciales

Parámetro	Símbolo	Valor	Unidad	Nota
Radio del núcleo	[math]R[/math]	100	m	Límite entre el vórtice forzado y el libre.
Velocidad tangencial máxima	[math]u_{\theta,\text{max}}[/math]	30	m/s	Ocurre en el borde del núcleo ([math]\rho = R[/math]).

Definición de Circulación ([math]\Gamma[/math])

La circulación es una integral de línea de la velocidad del flujo ([math]\mathbf{u}[/math]) a lo largo de una curva cerrada [math]C[/math]: [math] \Gamma = \oint_C \mathbf{u} \cdot d\mathbf{l} [/math]

Ecuación de Velocidad Tangencial para la Región Exterior

Para la región exterior ([math]\rho \ge R[/math]), la velocidad tangencial está dada por: [math] u_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} [/math]

Cálculo de la Circulación ([math]\Gamma[/math])

Aplicamos la condición de continuidad de la velocidad en el borde del núcleo, donde [math]u_{\theta}(R) = u_{\theta,\text{max}} = 30 \text{ m/s}[/math].

Sustituyendo esta condición en la ecuación de la región exterior: [math] 30 = \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math]

Despejando la circulación [math]\Gamma[/math]: [math] \Gamma = 2\pi R \times u_{\theta,\text{max}} [/math]

Sustituyendo los valores: [math] \Gamma = 2\pi \times (100 \text{ m}) \times (30 \text{ m/s}) [/math]

Resultado Final

El valor exacto de la circulación es: [math] \Gamma = 6000\pi \text{ m}^2\text{/s} [/math]

El valor aproximado es: [math] \Gamma \approx 18849.56 \text{ m}^2\text{/s} [/math]

Verificación con la Región Interior

Para verificar la consistencia, calculamos la velocidad angular ([math]\Omega[/math]) del núcleo: [math] \Omega = \frac{u_{\theta}(R)}{R} = \frac{30}{100} = 0.3 \text{ rad/s} [/math] La circulación calculada con el flujo forzado coincide: [math] \Gamma = 2\pi\Omega R^2 = 2\pi (0.3) (100)^2 = 6000\pi \text{ m}^2\text{/s} [/math]

Perfil de Velocidad Completo

El perfil de velocidad tangencial [math]u_\theta(\rho)[/math] es: [math] u_\theta(\rho) = 0.3\rho \text{ m/s} \quad \text{para } \rho \le 100 \text{ m} [/math] [math] u_\theta(\rho) = \frac{3000}{\rho} \text{ m/s} \quad \text{para } \rho \ge 100 \text{ m} [/math]

3.2 Campo de velocidad

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

[math] \vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0 [/math]

donde

[math] v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

3.2.1 Divergencia

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas cuando [math]\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)[/math]:

[math] \nabla\cdot\vec{v} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z} [/math]

En este caso

[math] v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho) [/math]

Por tanto, cada término de la divergencia es

[math] \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0 [/math]

[math] \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 [/math]

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

[math] \nabla \cdot \vec{v} = 0 [/math]

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es incompresible y que no existen ni fuentes ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad constante.

3.2.2 Rotacional

La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

[math] \vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z [/math]

es

[math] \nabla\times\vec{v} = \left( \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} \right)\vec{e}_\rho + \left( \frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial \rho} \right)\vec{e}_\theta + \left( \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta} \right)\vec{e}_z. [/math]

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- [math]v_\rho = 0[/math] - [math]v_z = 0[/math] - [math]v_\theta = v_\theta(\rho)[/math] (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

[math] (\nabla\times\vec{v})_\rho = \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} = 0 - 0 = 0. [/math]

2. Componente azimutal:

[math] (\nabla\times\vec{v})_\theta = \frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial \rho} = 0 - 0 = 0. [/math]

3. Componente vertical:

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}. [/math]

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

[math] v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho, [/math]

[math] \rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2}, [/math]

[math] \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta) = \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho. [/math]

Entonces

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = \frac{1}{\rho}\, \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho = \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}. [/math]

Para ρ > R:

[math] v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, [/math]

[math] \rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi}, [/math]

y como es constante,

[math] \frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0, [/math]

por lo que

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = 0. [/math]

Dando como resultado final

[math] \nabla\times\vec{v} = \begin{cases} (0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt] (0,\,0,\,0), & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

Interpretación física 

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial. Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

4 Campo de presión

4.1 Definición

El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente formula:

[math]p(\rho,z) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases} [/math]

4.2 Cálculos

Datos:

P₀ = 92 000 Pa

P_∞ = 101 325 Pa

(\rho) = 1,225kg/m^3

5 Otros Vórtices

5.1 Diferentes tipos de vórtices atmosféricos

5.1.1 Tornados

Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

Escala Fujita Mejorada (EF)

Categoría	Velocidad del viento (km/h)
EF0	105–137
EF1	138–178
EF2	179–218
EF3	219–266
EF4	267–322
EF5	≥ 323

5.1.2 Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales

Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

5.1.3 Dust Devil

Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

5.1.4 Vórtice de estela

Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

5.2 Diferencias

5.2.1 Escala

Diferencia de Escala

Tipo	Diametro (m)	Altura (m)
Tornados	10-2.000	100-1.000
Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales	100.000-600.000	10.000-20.000
Dust Devil	1-10	10-100
Vórtice de estela	0-10	0-10 (pero descienden cientos de metros)

5.2.2 Intensidad

Diferencia de Escala

Tipo	Velocidad de traslación (km/h)	Velocidad del viento (km/h)
Tornados	10-100	100-330+
Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales	15-50	120-250+
Dust Devil	10-30	20-70
Vórtice de estela	0-1000 (depende de la velocidad del objeto)	100-200

5.2.3 Formación

Diferencia de formación

Tipo	Formación	Fuente de energía	Condiciones
Tornados	Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal		Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales	Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis		Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
Dust Devil	Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión		Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
Vórtice de estela	219–266