Coordenadas Cilindricas Parabolicas (Grupo27)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 27)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	MARTA CUEVAS GARCÍA ANDREA DANIELA DE SOUSA SEQUERA CLAUDIA GÁMEZ CASADO CARLOTA SÁNCHEZ VARAS
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introduccion

En este trabajo estudiaremos y aplicaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por \((u, v, z)\) y su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es:

[math]\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

Como las coordenadas cilíndricas pueden verse como la extensión de las coordenadas polares en \(R^2\) a \(R^3\), definiendo la variable \(z\) como la altura cartesiana \(x_3\), de manera análoga, las coordenadas cilíndricas parabólicas generalizan un cambio de coordenadas en \(R^2\) a \(R^3\) respecto de las coordenadas parabólicas de \(R^2\).

Sirven principalmente para simplificar ecuaciones y problemas cuya geometría natural está asociada a parábolas rotadas alrededor de un eje. Al elegir un sistema que coincide con la forma del problema, las ecuaciones (especialmente las diferenciales) se vuelven más fáciles de resolver.

2 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

2.1 Linea coordenada \(\gamma_u\)

Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.2 Linea coordenada \(\gamma_v\)

Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.3 Linea coordenada \(\gamma_z\)

Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

2.4 Gráficas y códigos MATLAB en 2D y 3D

En la figura 1 y 2 podemos observar que las curvas coordenadas asociadas a \(u\) y \(v\) tienen forma de parábolas parametrizadas por \(u\) y \(v\).

%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u 
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('curvas coordenadas de u y v con z fijado en x_3=0 ');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

La Figura 3 representa las diferentes líneas coordenadas del sistema cilíndrico parabólico, dibujadas en el plano \( x_3 \). En esta figura, mejor que en las anteriores, se puede observar cómo la variación del parámetro t influye en la curvatura de las parábolas.

clear; clc; close all;

%DEFINICIÓN DE u y v
%Vectores de valores discretos para generar la malla
u_vals = linspace(0.2, 2.5, 6); 
v_vals = linspace(0.2, 2.5, 6); 

%figura
figure;
hold on;
grid on;
axis equal;

%FAMILIA DE CURVAS GAMMA_U (Variación de u)
%Se mantiene v constante (v_fixed) y se barre el parámetro u
for idx = 1:length(v_vals)
    v_fixed = v_vals(idx);
    u = linspace(0, 3, 150);   %Vector continuo para el trazo suave
    %Transformación a coordenadas cartesianas (x1, x2)
    x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; 
    x2_u = u .* v_fixed; 
    %Graficado: Tonalidades frías
    color_val = idx/length(v_vals);
    p1 = plot(x1_u, x2_u, 'Color', [0, 0.6*color_val, 0.8], 'LineWidth', 2); 
end

%FAMILIA DE CURVAS GAMMA_V (Variación de v)
%Se mantiene u constante (u_fixed) y se barre el parámetro v
for idx = 1:length(u_vals)
    u_fixed = u_vals(idx);
    v = linspace(0, 3, 150);    %Vector continuo para el trazo suave
    %Transformación a coordenadas cartesianas (x1, x2)
    x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; 
    x2_v = u_fixed .* v; 
    %Graficado: Tonalidades cálidas
    color_val = idx/length(u_vals);
    p2 = plot(x1_v, x2_v, 'Color', [0.9, 0.4*color_val, 0.1], 'LineWidth', 2); 
end

title('Red de Coordenadas Cilíndricas Parabólicas en el plano x_3=0)');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
xlim([-4 4]); 
ylim([0 6]);

%Leyenda 
legend([p1, p2], {'Líneas \gamma_u (v=cte)', 'Líneas \gamma_v (u=cte)'}, ...
       'Location', 'best');

hold off;

3 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma'_u\), \(\gamma'_v\) y \(\gamma'_z\)

3.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas \(\gamma'\)

En este apartado calcularemos la expresión de los campos velocidad de las líneas coordenadas. Estos son los vectores tangentes a \(\gamma\) y los obtenemos derivando las coordenadas.

Derivada respecto a \(u\):

[math] \gamma'_u = \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}. \end{aligned} [/math]

Derivada respecto a \(u\):

[math] \gamma'_u = \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}. \end{aligned} [/math]

Derivada respecto a \(z\):
[math] \gamma'_u = \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

3.2 Factores de Escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad calculados previamente:

[math] h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

[math] h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2} [/math]

[math] h_z = |\gamma'_z| =1 [/math]

3.3 Vectores Tangentes

Los vectores tangentes deben de ser unitarios y se obtienen normalizando los vectores, es decir, dividiendo entre el módulo de los vectores calculados previamente:

[math]\mathbf{e}_u =\frac{\gamma'_u}{|\gamma'_u|} = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{u \vec{i} + v \vec{j}}{\sqrt{u^2 + v^2}} [/math]

[math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_u}{|\gamma'_v|} =\frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{-v \vec{i} + u \vec{j}}{\sqrt{v^2 + u^2}} [/math]

[math]\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_u}{|\gamma'_z|} =\frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}[/math]

3.4 Comprobación de Ortonormalidad y Orientación

1. Lo primero que haremos será comprobar que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores unitarios

2. Ahora comprobaremos la ortogonalidad de los vectores. Es decir:
Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]

Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

3. Por último comprobaremos la orientación, tenemos en cuenta que el producto vectorial

\(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector.

Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

3.5 Representacion Grafica

En la figura 4 podemos ver cómo efectivamente los vectores \( e_u \) y \( e_v \) son tangentes a las líneas coordenadas de \(\gamma'_u\), \(\gamma'_v\) y \(\gamma'_z\).

clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'c', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;


%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;

4 Matrices de cambio de base

La Matriz \( Q\) contienen los vectores unitarios \( (e_u, e_v, e_z) \) en columnas. La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

5 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la mencionada previamente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2} \quad x_2 = uv \quad x_3 = z [/math]

En este apartado buscamos representar el vector posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico:

Partiendo de : \(\vec{r} = v_1 · \vec{i} + v_2 · \vec{j} + v_3 · \vec{k} \)

[math]\begin{cases}v_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\ v_2 = uv \\ v_3 = z \end{cases} [/math]

Buscamos : \(\vec{r} = v_u · \vec{e_u} + v_v · \vec{e_v} + v_z · \vec{e_z} \)

Usaremos la matriz de cambio de Base \(Q^{-1}\)

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix} [/math]

Por lo que concluimos que :

\(\vec{r} = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} · \vec{e_u} + \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} · \vec{e_v} + z · \vec{e_z} \)

6 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico-parabólico.

Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

6.1 Cambio de coordenadas

Si \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) y sabemos que \(x_2 = uv\) entonces:

\(f(u,v,z)=uv\)

6.2 Derivadas parciales

[math] f_u=\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad f_v=\frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad f_z=\frac{\partial f}{\partial z} = 0 [/math]

6.3 Cálculo del gradiente

Fórmula del gradiente en coordenadas curvilíneas ortogonales
Para coordenadas ortogonales con factores se sa la fórmula:

[math]\nabla f=\sum_{i=1}^3\frac{1}{h_i}\,\frac{\partial f}{\partial q_i}\,\hat e_i[/math]

De manera que el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es : [math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u} + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z} [/math]

Siendo \( h_u=h_v= \sqrt{v^2 + u^2}\) y \( h_z=1\) y teiendo en cuenta las derivadas parciales calculadas previamoente, entonces :

[math]\nabla f=\frac{v}{\sqrt{v^2 + u^2}}\,\hat e_u+\frac{v}{\sqrt{v^2 + u^2}}\,\hat e_v [/math]

Cálculo de coordenadas \( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación. [math]x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z [/math]

Para el punto \( (0,1,1) \): [math] uv=1 [/math] ; [math] \frac{u^2-v^2}{2}=0 [/math]. Por lo que [math] u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1 [/math]

Sustitución en el gradiente en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \).

Sustituyendo en el gradiante: [math] \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v} [/math]

Conclusión: el Gradiente en el punto de interés es

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]