El Vórtice de Rankine (grupo 64)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El Vórtice de Rankine. Grupo 64
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Campo de velocidades

En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

[math]\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}[/math]

donde

[math] v_{\theta}(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho \gt R. \end{cases} [/math]

Aquí, [math]R[/math] es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y [math]\Gamma[/math] es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura [math]z_{0}[/math].

Calcular \(\Gamma\):

[math] \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho = v_{\theta}(R) = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R \Rightarrow v_{\theta}(R) = 90 [/math]

[math] \Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R = 45\,000\,\pi \,\frac{m^{3}}{s} \approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{3}}{s} [/math]

[math] [\Gamma] = \left[\frac{m}{s}\cdot m^{2}\right] = \left[\frac{m^{3}}{s}\right] [/math]

Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

[math] v_{\theta}(\rho) = \begin{cases} \dfrac{22\,500\,\rho}{R^{2}}, & \rho \in [0,250]\\[6pt] \dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000] \end{cases} [/math]

Campo velocidades

R = 250;           % Radio del núcleo (m)
vR = 90;           % Velocidad tangencial en rho = R (m/s)
rho_max = 1000;    % Límite máximo para la gráfica (m)
% Cálculo de la circulación Gamma a partir de v_theta(R)
Gamma = vR * 2 * pi * R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);
% Malla radial
rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));
% Fórmula del vórtice de Rankine
% Interior (rotación sólida): v = (Gamma/(2*pi*R^2)) * rho
% Exterior (vórtice potencial): v = Gamma/(2*pi*rho)
idx_core = (rho <= R);
idx_outer = ~idx_core;
vtheta(idx_core)  = (Gamma./(2*pi*R^2)) .* rho(idx_core);
vtheta(idx_outer) = (Gamma./(2*pi)) ./ rho(idx_outer);
figure('Color','w','Units','normalized','Position',[0.2 0.2 0.5 0.5]);
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;
% Línea vertical en R
yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k', 'LineWidth', 1.5);
% Marcar punto en (R, vR)
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor', 'r');
% Anotaciones
text(R + 10, 0.95*yL(2), sprintf('\\rho = R = %g m', R), 'FontSize', 10);
xlabel('\rho (m)', 'FontSize', 12);
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)', 'FontSize', 12);
title('Vórtice de Rankine: velocidad tangencial v_\theta(\rho)', 'FontSize', 13);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)', 'Location', 'northeast');
grid on; box on;
xlim([0 rho_max]);

2 Comparativa entre la realidad física y el modelo

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical. Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine.
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro.
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo.

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

Fenómeno	Escala (diámetro)	Intensidad	Mecanismos de Formación
Tornados	Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros (75–400 m en promedio).	Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort). Duración de minutos.	Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
Trombas Marinas	Similar o ligeramente menor a la de un tornado (10–50 m en promedio).	60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort). Duración de 5–20 minutos.	-Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua. -No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
Huracanes (ciclones tropicales)	Desde 100 hasta 2000 km (500–600 km en promedio).	Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson). Duración de días a semanas.	Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
Dust Devils (diablo de polvo)	Desde 0,5 hasta 90 m (0,5–10 m en promedio).	Vientos de 30–100 km/h. Duración de segundos a varios minutos.	Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidad

[math] \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{v} &= \rho_1 \left( \frac{\partial \rho}{\partial (\rho v_\rho)} + \frac{\partial \theta}{\partial (v_\theta)} + \frac{\partial z}{\partial (r v_z)} \right) = \rho_1 \left( 0 + \frac{\partial \theta}{\partial (22500 R^2 \rho)} + 0 \right) = 0, \quad \rho \in [0\ltmath\gt \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{v} &= \rho_1 \left( \frac{\partial (\rho v_\rho)}{\partial \rho} + \frac{\partial (v_\theta)}{\partial \theta} + \frac{\partial (r v_z)}{\partial z} \right) = \rho_1 \left( 0 + \frac{\partial (22500 R^2 \rho)}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, \quad \rho \in [0,250] \\[10pt] \nabla \cdot \mathbf{v} &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{22500}{\rho}\right) = 0, \quad \rho \in [250,1000] \\[10pt] \nabla \cdot \mathbf{v} &= \rho_1 \, \frac{\partial}{\partial \theta}\left( \frac{22500}{\rho_1} \right) = 0, \quad \rho \in [250,1000] \end{aligned} [/math]

El flujo no crea ni destruye masa alrededor del vórtice. El movimiento giratorio ocurre sin acercamiento ni alejamiento radial neto. No hay fuentes ni sumideros en el centro. No existe velocidad radial ni variación local de volumen.

Si ∇⋅v ≠ 0, el flujo colapsaría o se expandiría. ,250] \\[8pt] \nabla \cdot \mathbf{v} &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{22500}{\rho}\right) = 0, \quad \rho \in [250,1000] \\[8pt] \nabla \cdot \mathbf{v} &= \rho_1 \frac{\partial}{\partial \theta}\left(22500 \rho_1^{-1}\right) = 0, \quad \rho \in [250,1000] \end{aligned} </math>

Esto significa que el flujo no crea ni destruye masa alrededor del vórtice. El movimiento giratorio ocurre sin que el fluido se acerque ni se aleje radialmente de forma neta. No aspira ni expulsa fluido; no hay fuentes ni sumideros en el centro. No hay velocidad radial, ni variación de volumen local.

Con \(\nabla \cdot \mathbf{v} \neq 0\), el flujo colapsaría o se expandiría.