Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 01)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 01
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Miguel Montano Reynoso, Héctor Mota Sánchez, Guillermo Verdejo García, Paola Villares Jordán
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) son un sistema que generaliza las coordenadas planas al espacio tridimensional, definiendo la variable z como la altura. Este sistema es útil para la resolución de problemas con simetría parabólica, puesto que simplifica ecuaciones diferenciales parciales. Además de otros problemas de física e ingeniería como la difracción o el análisis de la distribución del potencial electrostático.

En el presente trabajo se estudiará este sistema partiendo de su transformación en cartesianas. La relación empleada, donde u > 0, es la siguiente:

[math]\begin{cases}x_1= \left(\frac{u^2-v^2}{2}\right)\\ x_2= uv\\ x_3= z \end{cases} [/math]

El objetivo es analizar las magnitudes físicas del sistema, así como la obtención de expresiones para sus operadores vectoriales (gradiente, divergencia, rotacional). El análisis será explicado en detalle en los siguientes apartados.

1 Parametrización de las líneas/curvas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

1.1 Parametrización para cambio a cartesianas

A partir de la relación que vincula coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) con las cartesianas (x_1, x_2, x_3), se obtienen las siguientes expresiones:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): se mantienen v y z fijas y varía u.

\(\gamma_u (t)\):[math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2} , tv , z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): se mantienen constantes u y z, varía v.

\(\gamma_v(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): se mantienen constantes u y v, varía z.

\(\gamma_z(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math]

1.2 Códigos y gráficas en Matlab

Representación gráfica lineas u y v en 2D (sin contar con z)

clear; 
clc;
figure;
hold on;

%Creación de los vectores
u = 0.5 : 0.05 : 5;
v = 0.5 : 0.05 : 5;
for i=1:5
u_variable = i;
v_variable = i;

%Representación de la curva u, con v fijado 
x1_u = (u_variable.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u_variable .* v;
plot(x1_u, x2_u, 'm', 'LineWidth', 2);

%Representación de la curva v, con u fijado
x1_v = (u.^2 - v_variable.^2) / 2;
x2_v = u .* v_variable;
plot(x1_v, x2_v, 'r', 'LineWidth', 2);
end

%Configuración de la gráfica
title('Lineas u y v con distintos valores dados en 2D');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'Curva \gamma_u', 'Curva \gamma_v'}); 
grid on;
axis equal;
hold off;

Representación de plano con z constante

clear; 
clc;
figure;

%Creacion de los vectores
u = linspace(0, 2, 20);
v = linspace(0, 2, 20);
[U, V] = meshgrid(u, v);

%Ecuaciones
X = (U.^2 - V.^2) / 2;
Y = U .* V;
Z = zeros(size(X));

%Configuración de la gráfica
s = surf(X, Y, Z, 'FaceAlpha', 0.5, 'EdgeColor', 'm'); 
s.FaceColor = 'r';
title('Plano que forman los distintos valores de u y v en z=0');
xlabel('Eje x_1'); ylabel('Eje x_2'); zlabel('Eje x_3');
axis equal;
grid on;

2 Cálculos teóricos

2.1 Cálculo de los campos de velocidad

Los campos de velocidad son obtenidos mediante la derivación de las líneas coordenadas, cada una respecto de la variable que cambiaba con el tiempo.

• Derivada respecto de u

[math] \begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial u}=u\\ \frac{\partial x_2}{\partial u}=v\\ \frac{\partial x_3}{\partial u}=0 \end{cases} \Rightarrow \gamma'_u=u\vec{i}+v\vec{j} [/math]

• Derivada respecto de v

[math] \begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial v}=-v\\ \frac{\partial x_2}{\partial v}=u\\ \frac{\partial x_3}{\partial v}=0 \end{cases} \Rightarrow \gamma'_v=-v\vec{i}+u\vec{j} [/math]

• Derivada respecto de z

[math] \begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial z}=0\\ \frac{\partial x_2}{\partial z}=0\\ \frac{\partial x_3}{\partial z}=1 \end{cases} \Rightarrow \gamma'_v=\vec{k} [/math]

2.2 Cálculo de los módulos o factores de escala

Para obtener los vectores tangentes unitarios a las curvas, primero necesitamos las normas de cada campo de velocidad.

Para \(\gamma'_u\)→ [math] |\gamma'_u|= h_u = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

Para \(\gamma'_v\)→ [math] |\gamma'_v|= h_v = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}= \sqrt{u^2+v^2} [/math]

Para \(\gamma'_z\)→ [math] |\gamma'_z|= h_z = 1 [/math]

2.3 Cálculo de los vectores tangentes a las líneas coordenadas

Los vectores unitarios tangentes se calcularan dividiendo los campos de velocidad por sus respectivas normas.

[math] \vec{e_u}= \frac {\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) [/math]

[math] \vec{e_v}= \frac {\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) [/math]

[math] \vec{e_z}= \frac {\gamma'_z}{h_z} = \vec{k} [/math] (ya era unitario)

2.4 Comprobación de la base ortonormal orientada positivamente

Para comprobar la ortonormalidad se calculan los productos escalares y las normas, cuyos resultados tienen que ser 0 y 1, respectivamente.

\(\vec{e_u} \cdot \vec{e_v}\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j})\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) =0[/math]

\(\vec{e_v} \cdot \vec{e_z}\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j})\cdot(\vec{k}) =0[/math]

\(\vec{e_z} \cdot \vec{e_u}\) = [math](\vec{k})\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}(u \vec{i} +v \vec{j})=0[/math]

[math]|\vec{e_u}|=|\vec{e_v}|=|\vec{e_z}|= 1 [/math]

En cuanto orientación, hay que comprobar que [math] \vec{e_z}=\vec{k}=\vec{e_u} \times \vec{e_v} [/math] , puesto que su signo depende de está operación. Es decir, que si el valor calculado con el producto vectorial coincide con el ya calculado en el apartado 2.3 ,[math] \vec{e_z} [/math] ,estará orientado positivamente.

[math] \vec{e_u} \times \vec{e_v}=\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e_z} [/math]

3 Matrices de cambios de base

La matriz Q que transforma los vectores de la base [math] (\vec{e_u}, \vec{e_v},\vec{e_z}) [/math] a la base cartesiana [math] (\vec{i}, \vec{j},\vec{k}) [/math] es:

[math] Q=\begin{bmatrix} \vec{e_u}|& \vec{e_v}|& \vec{e_z} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_u} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Para pasar un vector de coordenadas cilíndricas a cartesianas se llevará a cabo la siguiente operación:

[math] \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}= Q · \begin{bmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{bmatrix} [/math]

La matriz inversa [math] Q^{-1} = Q^t [/math] , transforma vectores del sistema cartesiano al cilíndrico parabólico.

[math] Q^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_v} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_u} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]
Mediante la misma operación anterior conseguimos un vector en coordenadas cilíndricas parabólicas.

[math] \begin{bmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{bmatrix}= Q^{-1} · \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} [/math]

4 Expresiones del campo de posición [math]\vec{r} [/math], en la base [math] (\vec{e_u}, \vec{e_v},\vec{e_z}) [/math]

Primero usamos la relación entre cartesianas y cilíndricas parabólicas:

[math]\begin{cases}x_1= \left(\frac{u^2-v^2}{2}\right)\\ x_2= uv\\ x_3= z \end{cases} [/math]

Estas coordenadas definirán mi vector [math]\vec{v}=v_1\vec{i} + v_2\vec{j} + v_3\vec{k}[/math], que se sustituirá en la fórmula que transforma vectores del sistema cartesiano al cilíndrico parabólico:

[math] \begin{bmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{bmatrix}= Q^{-1} · \begin{bmatrix} \frac{u^2-v^2}{2}\\ uv \\ z \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}\begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} \frac{u^2-v^2}{2}\\ uv \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix} [/math]

Por lo tanto, [math] \vec{r}(u, v, z)=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \vec{e_u} + \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \vec{e_v} + z \vec{e_z} [/math].

5 Cálculo del gradiente

Sea [math]f : D \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}[/math] un campo escalar, expresamos el gradiente [math]\nabla f[/math] como la suma de las derivadas parciales respecto de cada coordenada del sistema, y teniendo en cuenta también los factores de escala [math]h_u[/math], puesto que se está trabajando en un sistema de coordenadas diferente al cartesiano. Ésta es la expresión general del gradiente:

[math] \begin{align} \nabla f &= \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{h_i} \frac{\partial f}{\partial q_i} \hat{\mathbf{e}}_i \end{align} [/math]

Aquí, [math]q_i[/math] son las [math]i[/math] coordenadas del sistema en cuestión, al estar en [math]\mathbb{R}^3[/math], [math]i[/math] tomará los valores [math]i = 1,2,3[/math], y [math]\hat{e}_i[/math] son los vectores de la base, es decir forman la base física del sistema.

[math] \begin{align} u&\gt0 \\ f(x_1,x_2,x_3) &= x_2 = uv \\ \text{P} &= (x_1,x_2,x_3) = (0,1,1) \\ \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial u} \frac{1}{h_u} \hat{\mathbf{e}}_u + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{1}{h_v} \hat{\mathbf{e}}_v + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{1}{h_z} \hat{\mathbf{e}}_z \\ y&=uv\\ x&=\frac{u^2-v^2}{2} \\ \nabla f &= \frac{1}{h_u} v \, \hat{\mathbf{e}}_u +\frac{1}{h_v} u \, \hat{\mathbf{e}}_v + \frac{1}{h_z} 0 \\ &= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}} \bar{\mathbf{e}}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}} \bar{\mathbf{e}}_v \\ \nabla f (\text{P}) &= (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0) \\ u^2 - v^2 = 0 &\Rightarrow u^2 =v^2 \\ u v = 1 &\Rightarrow u=1, v=1 \\ \mathbf{r}_{\text{cart.}} (u,v,z) &= (\frac{u^2-v^2}{2}, uv, z) \\ \mathbf{r}_{\text{cil. par.}} (u,v,z) &= (\frac{u^3+uv^2}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \frac{u^2v+v^3}{2\sqrt{u^2+v^2}}, z) \\ \nabla \mathbf{r} &= \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u} (h_v h_z r_u) + \frac{\partial}{\partial v} (h_u h_z r_v) + \frac{\partial}{\partial z} (h_u h_v r_z) \right] \\ r_u &= \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \quad r_v = \frac{u^2v + v^3}{2 \sqrt{u^2+v^2}}, \quad r_z = z \\ h_u &= \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1 \\ \nabla &\equiv \frac{\mathbf{e}_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial x^1} + \frac{\mathbf{e}_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial x^2} + \frac{\mathbf{e}_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \nabla \cdot \mathbf{r} &= \frac{1}{(u^2+v^2)} \left( \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{u^3 + uv^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^2v+v^3}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial z} ((u^2+v^2)z) \right) \\ &= \frac{1}{u^2+v^2} \left( \frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) \right) \\ &= \frac{1}{u^2+v^2} \frac{6u^2+6v^2}{2} = 3 \\ \end{align} [/math]

[math] \begin{align} \text{Dominio} \begin{cases} 0 &\leqq u \lt + \infty \\ -\infty &\lt v \lt + \infty \\ - \infty &\lt z \lt + \infty \end{cases} \\ \boxed{ v = \sqrt{\sqrt{x^2+y^2}+x} \\ u = \sqrt{\sqrt{x^2+y^2}-x} \\ z=z } \\ u &=\text{cte.}: \quad \text{confocal rotacionalmente simétricos paraboloides} \\ v &= \text{cte.}: \quad \text{confocal rotacionalmente simétricos paraboloides} \\ z &= \text{cte.}: \quad \text{planos paralelos} \end{align} [/math]

[math] \begin{align} \text{Método alternativo 2:} u\gt0\\ \text{P} (u,v,z) = (1,1,1) \begin{cases} u &= \sqrt{\sqrt{x^2+y^2}-x} = \sqrt{\sqrt{1}} = 1 \\ z &= z = 1 \end{cases} \\ \text{Método alternativo 3:}\\ \mathbf{v} = \nabla f (x_1, x_2, x_3) = \mathbf{j} \rightarrow \begin{pmatrix} \mathbf{v}_u \\ \mathbf{v}_v \\ \mathbf{v}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}} &\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}} &0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2+v^2}} &\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}} &0 \\ 0 &0 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}} \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} [/math]

[math] \begin{align} \mathbf{g}_i = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x^i} \end{align} [/math]

7 Cálculo del rotacional

El rotacional en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math] rot( \vec{F})=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene la siguiente expresión tras operar:

[math] rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right | [/math]

Por comodidad a la hora de mostrar los resultados, se calculará por componentes a continuación:

[math] \vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], se puede concluir que se trata de un campo irrotacional.

[math] rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= 0 [/math]

9 Cálculo de la curvatura

Dada la parábola:

[math] y=-Ax^2+B; [/math] dónde [math] A=3 y B=1; x ∈ [−1, 1] [/math]

Resultando:

[math] y=-3x^2+1; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|\vec{v}(x)×\vec{a}(x)|}{|\vec{v}(x)|^3} [/math]

Para nuestro caso, en el plazo z=0, tomamos y=f(x) y x=x resultando: [math] \vec{r}= x\vec{i}+f(x)\vec{j}+0\vec{k} [/math]

[math] \vec{v}(x)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(x)\vec{j} [/math]

[math] \vec{a}(x)=\vec{r}''=f''(x)\vec{j} [/math]

Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)\vec{k} [/math]

Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: [math]|\vec{v}(x)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(x))^2}\right)^3[/math]

[math] f(x)=-3x^2+1 [/math]

[math] f'(x)= 6x [/math]

[math] f''(x)= 6 [/math]

Sustituyendo, la curvatura finalmente es:

[math] \kappa(x)=\frac{6}{(1+36x^2)^{3/2}} [/math]

Ahora, evaluamos los puntos críticos de la parábola, que son: x=-1, x=1, x=0.

1. Para [math]x = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = 0,027 [/math]

2. Para [math]x = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = 0,027 [/math]

3. Para [math]x = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}} = 6 [/math]

10 Información sobre la parábola y su uso en la ingeniería

10.1 ¿Qué es la parábola?

En matemáticas, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a una generatriz. También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan a la recta llamada directriz y un punto llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante.

10.2 Aplicaciones de la parábola en ingeniería civil y arquitectura

Tanto en ingeniería civil y arquitectura es muy fácil encontrar parábolas. Esto se debe a: la forma en U de la parábola que distribuye la cargas uniformemente, el aprovechamiento de los recursos (materiales de construcción) para producir muy pocos residuos, el atractivo visual de su diseño (patrones elegantes y armónicos), etc.
1. Puentes 2. Presas 3. Carreteras 4. Túneles y muros de contención 5. Elementos arquitectónicos

10.3 Otros usos de la parábola

10.3.1 Por sus características mecánicas (movimiento y fuerzas que lo provocan)

Uno de los movimientos más estudiados en física es el parabólico, que se puede descomponer en un movimiento rectilíneo uniforme el eje de las x (en horizontal) y el un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje de las y (en vertical) por la acción de la gravedad. Su análisis sirve para predecir trayectorias de proyectiles o balones, por ello es constantemente empleado en las ramas de deportes, balística, aviación e ingeniería aeroespacial.

10.3.2 Por sus características ópticas (comportamiento de la luz)

Las parábolas tienen una propiedad de reflexión única: cualquier rayo que entra perpendicular a la directriz (paralelo al eje focal) se refleja y pasa directamente por el foco. Si se estudia a la inversa, se observa que todo rayo originado en el foco es paralelo al eje focal. A continuación se expondrán algunos ejemplos donde se tiene en cuenta está propiedad:
1. Antenas parabólicas
La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico (forma de plato cóncavo). Se utiliza para enfocar las ondas electromagnéticas en un punto específico, conocido como foco, o para emitirlas de forma concentrada. Esta capacidad de concentrar la energía en una dirección específica (o de un punto específico) le otorga una alta directividad y, por lo tanto, una alta ganancia de señal. Las antenas parabólicas pueden ser transmisoras, receptoras o full dúplex (reciben y transmiten simultáneamente). Este tipo de tecnología es esencial para la comunicación vía satélite y radioastronomía.
2. Faros y linternas
Los faros de la calle o del coche y las linternas usan igualmente la propiedad de reflexión de las parábolas. Esto se emplea para evitar que la luz se disperse y permitir que el haz luminoso viaje más lejos y con mayor intensidad, proporcionando una iluminación eficaz en la oscuridad.
3. Hornos solares
En un horno solar, la parábola se utiliza como pantalla reflectante para concentrar la luz solar en un punto focal .El recipiente de cocción se coloca en el foco, donde la energía solar se concentra para cocinar alimentos. A veces, son usados para tratamiento térmico de materiales como la madera, plásticos y productos químicos. Lo bueno del horno es que no funciona con combustible y utiliza el sol una fuente de energía renovable.

11 Bibliografía

https://prezi.com/svobrghsek68/la-parabola-en-la-ingenieria/
3879-Article Text-7638-1-10-20240929.pdf
https://www.almisat.com/servicios/antenas-parabolicas/#:~:text=La%20antena%20parab%C3%B3lica%20es%20un,transmisoras%20o%20como%20antenas%20receptoras.
https://es.scribd.com/document/424637282/Antena-Parabolica
https://mathspace.co/textbooks/syllabuses/Syllabus-465/topics/Topic-8712/subtopics/Subtopic-115384/?activeTab=theory