El Vórtice de Rankine (Grupo47)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El Vórtice de Rankine. Grupo47
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

3 Representación del flujo

3.1 Circulación

3.1.1 Definición

La circulación es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce la siguiente función: [math]v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases} [/math], en este caso para obtener la circulación tendremos que aplicar la siguiente igualdad: [math]\rho = \text{R}[/math]

Al remplazarlo en la siguiente función: [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho \;[/math]. Obtendremos la siguiente ecuación: [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math].

Es decir:

[math]{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R [/math]

3.1.1.1 Calculos

Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

[math]R = 250m[/math]

[math]v_{\theta} = 90m/s[/math]

Al remplazar obtenemos el siguiente calculo:

[math]{\Gamma} = 2 \ pi \ 250 \ 90[/math]

Finalmente obtenemos la circulación:

[math]{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} [/math] o bien [math]{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} [/math]

3.1.2 Velocidad tangencial

3.1.2.1 Definición

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización. Si la trayectoria viene dada por [math]\vec{r}(t)[/math], el vector velocidad es [math]\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)[/math], y la velocidad tangencial se define como:

[math]v_e(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert[/math]

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo y lleva la dirección del vector tangente unitario:

[math]\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}[/math]

3.2 Campo de velocidad

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

[math] \vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0 [/math]

donde

[math] v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

3.2.1 Divergencia

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas cuando [math]\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)[/math]:

[math] \nabla\cdot\vec{v} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z} [/math]

En este caso

[math] v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho) [/math]

Por tanto, cada término de la divergencia es

[math] \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0 [/math]

[math] \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 [/math]

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

[math] \nabla \cdot \vec{v} = 0 [/math]

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es incompresible y que no existen ni fuentes ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad constante.

La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

[math] \vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z [/math]

es

[math] \nabla\times\vec{v} = \left( \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} \right)\vec{e}_\rho + \left( \frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial \rho} \right)\vec{e}_\theta + \left( \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta} \right)\vec{e}_z. [/math]

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- [math]v_\rho = 0[/math] - [math]v_z = 0[/math] - [math]v_\theta = v_\theta(\rho)[/math] (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

[math] (\nabla\times\vec{v})_\rho = \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} = 0 - 0 = 0. [/math]

2. Componente azimutal:

[math] (\nabla\times\vec{v})_\theta = \frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial \rho} = 0 - 0 = 0. [/math]

3. Componente vertical:

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}. [/math]

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

[math] v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho, [/math]

[math] \rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2}, [/math]

[math] \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta) = \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho. [/math]

Entonces

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = \frac{1}{\rho}\, \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho = \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}. [/math]

Para ρ > R:

[math] v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, [/math]

[math] \rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi}, [/math]

y como es constante,

[math] \frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0, [/math]

por lo que

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = 0. [/math]

Dando como resultado final

[math] \nabla\times\vec{v} = \begin{cases} (0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt] (0,\,0,\,0), & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

4 Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial. Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.