Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 01)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 01
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Miguel Montano Reynoso, Héctor Mota Sánchez, Guillermo Verdejo García, Paola Villares Jordán
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) son un sistema que generaliza las coordenadas planas al espacio tridimensional, definiendo la variable z como la altura. Este sistema es útil para la resolución de problemas con simetría parabólica, puesto que simplifica ecuaciones diferenciales parciales. Además de otros problemas de física e ingeniería como la difracción o el análisis de la distribución del potencial electrostático.

En el presente trabajo se estudiará este sistema partiendo de su transformación en cartesianas. La relación empleada, donde u > 0, es la siguiente:

[math]\begin{cases}x_1= \left(\frac{u^2-v^2}{2}\right)\\ x_2= uv\\ x_3= z \end{cases} [/math]

El objetivo es analizar las magnitudes físicas del sistema, así como la obtención de expresiones para sus operadores vectoriales (gradiente, divergencia, rotacional). El análisis será explicado en detalle en los siguientes apartados.

1 Parametrización de las líneas/curvas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

1.1 Parametrización para cambio a cartesianas

A partir de la relación que vincula coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) con las cartesianas (x_1, x_2, x_3), se obtienen las siguientes expresiones:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): se mantienen v y z fijas y varía u.

\(\gamma_u (t)\):[math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2} , tv , z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): se mantienen constantes u y z, varía v.

\(\gamma_v(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): se mantienen constantes u y v, varía z.

\(\gamma_z(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math]

2 Cálculos teóricos

2.1 Cálculo de los campos de velocidad

Los campos de velocidad son obtenidos mediante la derivación de las líneas coordenadas, cada una respecto de la variable que cambiaba con el tiempo.

• Derivada respecto de u

[math] \begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial u}=u\\ \frac{\partial x_2}{\partial u}=v\\ \frac{\partial x_3}{\partial u}=0 \end{cases} \Rightarrow \gamma'_u=u\vec{i}+v\vec{j} [/math]

• Derivada respecto de v

[math] \begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial v}=-v\\ \frac{\partial x_2}{\partial v}=u\\ \frac{\partial x_3}{\partial v}=0 \end{cases} \Rightarrow \gamma'_v=-v\vec{i}+u\vec{j} [/math]

• Derivada respecto de z

[math] \begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial z}=0\\ \frac{\partial x_2}{\partial z}=0\\ \frac{\partial x_3}{\partial z}=1 \end{cases} \Rightarrow \gamma'_v=\vec{k} [/math]

2.2 Cálculo de los módulos o factores de escala

Para obtener los vectores tangentes unitarios a las curvas, primero necesitamos las normas de cada campo de velocidad.

Para \(\gamma'_u\)→ [math] |\gamma'_u|= h_u = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

Para \(\gamma'_v\)→ [math] |\gamma'_v|= h_v = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}= \sqrt{u^2+v^2} [/math]

Para \(\gamma'_z\)→ [math] |\gamma'_z|= h_z = 1 [/math]

2.3 Cálculo de los vectores tangentes a las líneas coordenadas

Los vectores unitarios tangentes se calcularan dividiendo los campos de velocidad por sus respectivas normas.

[math] \vec{e_u}= \frac {\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) [/math]

[math] \vec{e_v}= \frac {\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) [/math]

[math] \vec{e_z}= \frac {\gamma'_z}{h_z} = \vec{k} [/math] (ya era unitario)

2.4 Comprobación de la base ortonormal orientada positivamente

Para comprobar la ortonormalidad se calculan los productos escalares y las normas, cuyos resultados tienen que ser 0 y 1, respectivamente.

\(\vec{e_u} \cdot \vec{e_v}\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j})\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) =0[/math]

\(\vec{e_v} \cdot \vec{e_z}\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j})\cdot(\vec{k}) =0[/math]

\(\vec{e_z} \cdot \vec{e_u}\) = [math](\vec{k})\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}(u \vec{i} +v \vec{j})=0[/math]

[math]|\vec{e_u}|=|\vec{e_v}|=|\vec{e_z}|= 1 [/math]

En cuanto orientación, hay que comprobar que [math] \vec{e_z}=\vec{k}=\vec{e_u} \times \vec{e_v} [/math] , puesto que su signo depende de está operación. Es decir, que si el valor calculado con el producto vectorial coincide con el ya calculado en el apartado 2.3 ,[math] \vec{e_z} [/math] ,estará orientado positivamente.

[math] \vec{e_u} \times \vec{e_v}=\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e_z} [/math]

3 Matrices de cambios de base

La matriz Q que transforma los vectores de la base [math] (\vec{e_u}, \vec{e_v},\vec{e_z}) [/math] a la base cartesiana [math] (\vec{i}, \vec{j},\vec{k}) [/math] es:

[math] Q=\begin{bmatrix} \vec{e_u}|& \vec{e_v}|& \vec{e_z} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_u} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Para pasar un vector de coordenadas cilíndricas a cartesianas se llevará a cabo la siguiente operación:

[math] \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}= Q · \begin{bmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{bmatrix} [/math]

La matriz inversa [math] Q^{-1} = Q^t [/math] , transforma vectores del sistema cartesiano al cilíndrico parabólico.

[math] Q^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_v} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_u} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]
Mediante la misma operación anterior conseguimos un vector en coordenadas cilíndricas parabólicas.

[math] \begin{bmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{bmatrix}= Q^{-1} · \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} [/math]

4 Expresiones del campo de posición [math]\vec{r} [/math], en la base [math] (\vec{e_u}, \vec{e_v},\vec{e_z}) [/math]

Primero usamos la relación entre cartesianas y cilíndricas parabólicas:

[math]\begin{cases}x_1= \left(\frac{u^2-v^2}{2}\right)\\ x_2= uv\\ x_3= z \end{cases} [/math]

Estas coordenadas definirán mi vector [math]\vec{v}=v_1\vec{i} + v_2\vec{j} + v_3\vec{k}[/math], que se sustituirá en la fórmula que transforma vectores del sistema cartesiano al cilíndrico parabólico:

[math] \begin{bmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{bmatrix}= Q^{-1} · \begin{bmatrix} \frac{u^2-v^2}{2}\\ uv \\ z \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}\begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} \frac{u^2-v^2}{2}\\ uv \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix} [/math]

Por lo tanto, [math] \vec{r}(u, v, z)=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \vec{e_u} + \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \vec{e_v} + z \vec{e_z} [/math].

5 Cálculo del gradiente

[math] \begin{align} \nabla f &= \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{h_i} \frac{\partial f}{\partial q_i} \hat{\mathbf{e}}_i \\ u&\gt0 \\ f(x_1,x_2,x_3) &= x_2 = uv \\ \text{P} &= (x_1,x_2,x_3) = (0,1,1) \\ \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial u} \frac{1}{h_u} \hat{\mathbf{e}}_u + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{1}{h_v} \hat{\mathbf{e}}_v + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{1}{h_z} \hat{\mathbf{e}}_z \\ y&=uv\\ x&=\frac{u^2-v^2}{2} \\ \nabla f &= \frac{1}{h_u} v \, \hat{\mathbf{e}}_u +\frac{1}{h_v} u \, \hat{\mathbf{e}}_v + \frac{1}{h_z} 0 \\ &= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}} \bar{\mathbf{e}}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}} \bar{\mathbf{e}}_v \\ \nabla f (\text{P}) &= (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0) \\ u^2 - v^2 = 0 &\Rightarrow u^2 =v^2 \\ u v = 1 &\Rightarrow u=1, v=1 \\ \mathbf{r}_{\text{cart.}} (u,v,z) &= (\frac{u^2-v^2}{2}, uv, z) \\ \mathbf{r}_{\text{cil. par.}} (u,v,z) &= (\frac{u^3+uv^2}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \frac{u^2v+v^3}{2\sqrt{u^2+v^2}}, z) \\ \nabla \mathbf{r} &= \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u} (h_v h_z r_u) + \frac{\partial}{\partial v} (h_u h_z r_v) + \frac{\partial}{\partial z} (h_u h_v r_z) \right] \\ r_u &= \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2+v^2}}, \quad r_v = \frac{u^2v + v^3}{2 \sqrt{u^2+v^2}}, \quad r_z = z \\ h_u &= \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1 \\ \nabla &\equiv \frac{\mathbf{e}_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial x^1} + \frac{\mathbf{e}_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial x^2} + \frac{\mathbf{e}_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{(u^2+v^2)} \left( \frac{\partial}{\partial u} \left( \ \right) \right) \end{align} [/math]

7 Pregunta 7: Rotacional

El rotacional en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math] rot( \vec{F})=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene la siguiente expresión tras operar:

[math] rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right | [/math]

Por comodidad a la hora de mostrar los resultados, se calculará por componentes a continuación:

[math] \vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], se puede concluir que se trata de un campo irrotacional.

[math] rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= 0 [/math]

8 Pregunta 9: Curvatura

Dada la parábola:

[math] y=-Ax^2+B; [/math] dónde [math] A=3 y B=1; x ∈ [−1, 1] [/math]

Resultando:

[math] y=-3x^2+1; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|\vec{v}(x)×\vec{a}(x)|}{|\vec{v}(x)|^3} [/math]

Para nuestro caso, en el plazo z=0, tomamos y=f(x) y x=x resultando: [math] \vec{r}= x\vec{i}+f(x)\vec{j}+0\vec{k} [/math]

[math] \vec{v}(x)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(x)\vec{j} [/math]

[math] \vec{a}(x)=\vec{r}''=f''(x)\vec{j} [/math]

Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)\vec{k} [/math]

Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: [math]|\vec{v}(x)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(x))^2}\right)^3[/math]

[math] f(x)=-3x^2+1 [/math]

[math] f'(x)= 6x [/math]

[math] f''(x)= 6 [/math]

Sustituyendo, la curvatura finalmente es:

[math] \kappa(x)=\frac{6}{(1+36x^2)^{3/2}} [/math]

Ahora, evaluamos los puntos críticos de la parábola, que son: x=-1, x=1, x=0.

1. Para [math]x = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = 0,027 [/math]

2. Para [math]x = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = 0,027 [/math]

3. Para [math]x = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}} = 6 [/math]