Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 61)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ondas y Campos Vectoriales en un Arco. Grupo 61
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Marco Antonio Vives Rocamora Pelayo Álvarez Fernández Álvaro Rodríguez Javier Portabella Javier Sánchez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 . Definición del Arco.

1.1 . Arco

La región geométrica que se analiza en este trabajo corresponde a un arco circular, es decir, a una corona comprendida entre dos radios concéntricos. El dominio está limitado por un radio interior igual a 1 y un radio exterior igual a 2, de modo que todos los puntos del arco verifican

[math]\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;[/math]

Esta descripción en coordenadas cartesianas puede expresarse de forma más natural mediante coordenadas polares. En dichas coordenadas, la geometría del arco queda caracterizada por los siguientes rangos:

• \(\rho \in [1,2]\)
• \(\theta \in [0,2\pi]\)

lo que representa una corona circular completa alrededor del origen.

Sobre este dominio se estudiará el efecto de un campo de desplazamientos aplicado a la superficie del arco. Dicho campo es puramente radial y viene dado por

[math]\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}[/math]

Este desplazamiento puede interpretarse como una deformación que separa las circunferencias de radio 1 y 2 sin introducir componente angular. El análisis de este campo permitirá calcular e interpretar magnitudes como el gradiente, la divergencia, el rotacional y las tensiones asociadas al material del arco.

1.2 . Mallado del arco

Para poder trabajar numéricamente sobre el arco es necesario discretizarlo, es decir, construir una malla de puntos en su interior. Partimos de la descripción del dominio en coordenadas polares:

[math]1 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi[/math]

que corresponde a una corona circular completa alrededor del origen.

El mallado se obtiene tomando un número finito de valores igualmente espaciados de [math]\rho[/math] y [math]\theta[/math]. A partir de ellos se construye una rejilla en el plano [math](\rho,\theta)[/math] y, usando el cambio a coordenadas cartesianas:

[math] x = \rho \cos\theta,\qquad y = \rho \sin\theta [/math]

se obtienen las coordenadas [math](x,y)[/math] de todos los puntos de la malla. Las líneas de [math]\rho[/math] constante dan lugar a circunferencias, mientras que las líneas de [math]\theta[/math] constante se representan como radios. El resultado es una malla estructurada formada por curvas radiales y circunferenciales que recubre todo el dominio del arco y que servirá de base para representar los distintos campos escalares y vectoriales en los apartados siguientes.

Mallado del arco realizado a través de Matlab:

Representación del mallado del arco mediante MatLab.

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);


plot(xx, yy, 'r'); 

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');

2 . Temperatura

En este apartado se estudia el comportamiento del campo de temperatura definido sobre el dominio del arco. La temperatura viene dada por la función escalar

[math] T(x,y) = (x - y)^2, [/math]

la cual asigna a cada punto del arco un valor real no negativo. Se trata de un campo escalar sencillo pero representativo, ya que su variación depende de la distancia a la diagonal [math]x = y[/math], lo que permite observar cómo cambian las isótemas dentro de un dominio curvilíneo.

El análisis de la temperatura se divide en dos partes. En primer lugar, se representa el campo mediante un mapa de colores sobre el dominio discretizado, lo que permite visualizar de forma inmediata las zonas de mayor y menor temperatura. En segundo lugar, se estudian sus valores extremos dentro del arco, determinando dónde se alcanzan los máximos y mínimos en función de la geometría del dominio.

Este estudio será esencial para comprender el gradiente de la temperatura en el apartado siguiente, ya que las zonas donde [math]T[/math] crece o decrece más rápidamente estarán directamente relacionadas con la orientación del vector [math]\nabla T[/math].

2.1 . Representación

En este apartado se representa gráficamente el campo de temperatura definido por

[math] T(x,y) = (x - y)^2, [/math]

evaluado sobre la malla construida en el arco. Para cada punto de la rejilla [math](x,y)[/math], la función asigna un valor proporcional al cuadrado de la diferencia entre sus coordenadas. Esto implica que la temperatura es mínima sobre la diagonal [math]x = y[/math] y aumenta conforme los puntos se alejan de dicha línea.

La representación se realiza mediante un mapa de colores sobre el dominio, utilizando la misma malla generada en el apartado anterior. Este tipo de visualización permite identificar rápidamente las regiones de temperatura elevada (colores cálidos) y las zonas donde [math]T[/math] es más baja (colores fríos). La variación del campo resulta suave y simétrica respecto a la recta [math]x = y[/math], lo que facilita su análisis en apartados posteriores.

Representación de la temperatura del arco

% Cálculo de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2;                 % Campo escalar de temperatura

figure

contourf(xx, yy, T, 40, 'LineColor', 'none')   % Mapa suave con 40 niveles

hold on

contour(xx, yy, T, 12, 'k', 'LineWidth', 0.5)  % Líneas de contorno finas en negro

colormap(turbo)                               % Paleta moderna y más limpia

colorbar                                      % Barra lateral

title('Temperatura del arco')                 % Título de la gráfica

xlabel('x'); ylabel('y')                      % Etiquetas de los ejes

axis equal                                    % Proporción real

xlim([-3 3]); ylim([-3 3])                    % Ventana visual

set(gcf, 'Color', 'w')                        % Fondo blanco para mejor calidad

En la figura anterior se representa el campo de temperatura definido por T(x,y) = (x - y)^2 sobre el dominio del arco. La distribución térmica depende directamente de la diferencia entre las coordenadas cartesianas x e y, de modo que la temperatura se anula en los puntos situados sobre la recta x = y y aumenta progresivamente conforme los puntos se alejan de dicha diagonal.

En el gráfico puede observarse cómo las zonas próximas a la línea x = y presentan valores más bajos (colores fríos), mientras que las regiones donde x e y difieren más muestran temperaturas elevadas (colores cálidos). Las bandas inclinadas que aparecen en la imagen reflejan esta estructura nivelada de la función, generando curvas de igual temperatura que atraviesan el arco con una orientación similar.

Esta representación permite identificar con facilidad las regiones en las que la temperatura varía más rápidamente, información que será fundamental en el apartado siguiente para estudiar el gradiente de T y su relación con la geometría del dominio.

2.2 . Máximos y mínimos

Una vez representado el campo de temperatura, analizamos ahora los puntos del arco en los que la función

[math]T(x,y) = (x - y)^2[/math]

alcanza sus valores extremos. Dado que se trata de una función cuadrática, la temperatura siempre es no negativa y solamente se anula cuando [math]x = y[/math]. Esto permite identificar de forma inmediata los puntos del dominio donde se alcanza el mínimo absoluto.

Por otra parte, los valores máximos no se encuentran en un punto aislado, sino en las zonas del arco donde la diferencia entre [math]x[/math] e [math]y[/math] es mayor dentro del dominio geométrico estudiado. Para localizarlos con precisión se calcula el valor de la temperatura en toda la malla y se identifican los puntos que alcanzan el máximo.

Representación del máximo y mínimo de la función temperatura

% Cálculo de los valores extremos de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2;                % Campo de temperatura

valor_min = min(T(:));           % Mínimo absoluto del campo
valor_max = max(T(:));           % Máximo absoluto del campo

% Localización aproximada de los puntos donde se alcanzan
[idx_min] = find(T == valor_min);
[idx_max] = find(T == valor_max);

puntos_min = [xx(idx_min), yy(idx_min)];   % Coordenadas donde T es mínima
puntos_max = [xx(idx_max), yy(idx_max)];   % Coordenadas donde T es máxima

% Representación gráfica
figure
contourf(xx, yy, T, 30)          % Mapa de temperatura
hold on
plot(puntos_min(:,1), puntos_min(:,2), 'wo', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2)  % mínimos
plot(puntos_max(:,1), puntos_max(:,2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2)  % máximos
colorbar
title('Máximos y mínimos de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal

En el gráfico se observa que la temperatura mínima se alcanza en los puntos del arco situados sobre la línea x = y, donde la función T(x,y) se anula. Estos puntos aparecen marcados en blanco en la figura.

Los valores máximos, representados mediante cruces rojas, se encuentran en las zonas del arco donde la diferencia |x - y| es mayor. En este caso, los máximos aparecen en la parte superior izquierda y superior derecha del dominio, coincidiendo con los puntos en los que la geometría del arco permite un mayor alejamiento entre x e y.

Este estudio proporciona una visión clara de cómo se distribuyen los valores extremos en el dominio, lo cual será útil en el apartado siguiente para comprender la dirección y magnitud del gradiente de T.

3 . Gradiente de T y curvas de nivel

En este apartado se calcula y representa el gradiente de la temperatura asociada al campo

[math]T(x,y) = (x - y)^2[/math].

El gradiente proporciona la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente en cada punto del arco y su módulo indica la variación máxima de T en esa dirección. Dado que se trata de una función diferenciable, el gradiente se obtiene mediante las derivadas parciales respecto a x e y, evaluadas en todos los nodos de la malla.

La representación vectorial del gradiente permite visualizar la orientación de las zonas donde la temperatura crece de forma más acusada, lo cual resulta fundamental para interpretar la distribución térmica del dominio.

Representación del gradiente de la temperatura

% Cálculo del gradiente del campo T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2;                % Campo de temperatura

% Derivadas parciales de T
Tx = 2*(xx - yy);                % dT/dx
Ty = -2*(xx - yy);               % dT/dy

% Representación del gradiente
figure
quiver(xx, yy, Tx, Ty, 'k')      % Flechas negras del gradiente
hold on
contourf(xx, yy, T, 20, 'LineColor', 'none')   % Fondo suave con la temperatura
colormap(turbo)
colorbar
title('Gradiente de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal

En la figura se observa el campo vectorial del gradiente de T superpuesto al mapa de temperatura. Las flechas apuntan en la dirección donde la función T aumenta con mayor rapidez y su orientación coincide con la perpendicular a las curvas de nivel.

Dado que T(x,y) depende únicamente de la diferencia (x - y), los vectores del gradiente son paralelos entre sí en amplias zonas del dominio y presentan una dirección inclinada, siempre perpendicular a las bandas de colores observadas en el mapa de temperatura.

La simetría de la función se refleja en la estructura del gradiente, que cambia de sentido a ambos lados de la recta x = y, donde la temperatura es mínima.

4 . Campo de Vectores en el Sólido (u).

Tenemos el campo vectorial en coordenadas cilíndricas: [math]\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho[/math].

Vamos a representarlo en los puntos del mallado del sólido.

Representación del Campo Vectorial en el Mallado del Sólido

% Defino el paso de muestreo para la rejilla. 
% Defino el dominio.
h = 1/10;
r = 1:h:2;

% Calculo el número aproximado de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Vector en el que asigno un ángulo de 0 a pi a cada punto.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho, theta] = meshgrid(r,ang);

% Paso a coordenadas cartesianas para el trazado de las líneas de malla.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Inicio la figura. 
% Uso color verde para las radiales y los arcos.
figure;

plot(x,y,'g'); % Rayos.
hold on
plot(x',y','g'); % Arcos.
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Campo Vectorial: u(ρ,θ)=15(ρ−1)ρ eρ');
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');
grid on

% Cálculo y visualización del campo vectorial.
ri = 1;
re = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20);
rho_vec = linspace(ri, re, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posiciones donde nacerán las mallas.
X = R.*cos(THETA);
Y = R.*sin(THETA);

% Definición del campo en base polar.
U_rho = (1/5)*(R-1).*R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Paso a Cartesianas
U = U_rho.*cos(THETA)-U_theta.*sin(THETA);
V = U_rho.*sin(THETA)+U_theta.*cos(THETA);

% Dibujo de vectores.
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2);

hold off

El campo vectorial, al carecer de componente angular, es estrictamente radial (los vectores apuntan desde el origen hacia afuera). La ecuación muestra una dependencia respecto a la distancia al origen, a medida que aumenta el radio se produce un crecimiento de la norma de los vectores, siendo nula en el radio interior y máxima en el exterior.

5 . Sólido antes y después del desplazamiento

(Figuras + explicación + código)

6 . Divergencia de u

(Gráfica + explicación + código)

7 . Rotacional de u

(Gráfica + explicación + código)

8 . Tensiones normales en dirección e_ρ

(Gráficas + explicación)

9 . Tensiones normales en dirección (1/ρ)e_θ

(Gráficas + explicación)

10 . Tensiones tangenciales

(Gráficas + explicación)

11 . Masa total con densidad dada

(Cálculo + código)

12 . Ejemplo ingenieril

(Breve explicación)

13 Código MATLAB completo

% aquí va todo el código

14 Bibliografía

• Apuntes Teoría de Campos (Moodle)
• Notas sobre curvas planas y superficies regladas