La Catenaria (Grupo 7)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Catenaria (Grupo 7)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Dibujo de la curva

1.1 Descripción de la curva

Representación de la catenaria

La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math]γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))[/math], con [math] A = 3[/math].

La curva es simétrica respecto al eje [math]x = 0[/math]. debido a que [math]cosh(t)[/math] es par.
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola.
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que [math]cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})[/math]

1.2 Código y representación de la curva

Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:

clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;

2 Vectores aceleración y velocidad

2.1 Cálculo de los vectores

Siendo [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto:

• Su vector velocidad [math] γ'(t) [/math] será igual a:
  

[math] γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) [/math]

• Su vector aceleración [math] γ''(t) [/math] será igual a:
  

[math] γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) [/math]

2.2 Interpretación geométrica

Representación de los vectores velocidad y aceleración

Podemos observar que el vector velocidad [math] γ'(t) [/math] es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva.

Por otra parte, el vector aceleración [math] γ''(t) [/math] nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante.

Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro.

2.3 Código y representación de los vectores

Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:

clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');

3 Longitud de la curva

3.1 Cálculo de la longitud

La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera:

[math]L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 [/math]

La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente 2,0373 unidades.

3.2 Código y representación de la longitud

Representación longitud de la curva

clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
    x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
    y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
    fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)

Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es 2.037255 unidades ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

4 Vectores tangente y normal

4.1 Cálculo de vectores

Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:

- El vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]. En este caso: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
- El vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math], donde [math] \vec{b}(t) [/math] es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math]. De esta forma:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0 \end{vmatrix} \end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]

4.2 Interpretación de los vectores

Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal:

En primer lugar, el vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario.

Asimismo, el vector normal [math] \vec{n}(t) [/math], también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz [math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)[/math].

El vector binormal [math]\vec{b}(t) [/math] es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

4.3 Código MatLab (Curva y vectores)

Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:

% Creamos las variables
n = 20;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Interpretación geométrica

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

• el mismo punto,
• la misma dirección del vector tangente,
• y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

6.2 Centro de la circunferencia osculatriz

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

[math] x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right). [/math]

[math] x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right). [/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t) = (x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math] \kappa(t) = \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|} {\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}. [/math]

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

[math] \kappa(t) = \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)} {\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}. [/math]

Como [math]1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)[/math], queda

[math] \kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). [/math]

El radio de curvatura es

[math] R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). [/math]

En el punto [math]t_0 = -0.5[/math] resulta

[math] R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. [/math]

6.3 Representación gráfica y código

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2);  % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
       'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');

7 Información sobre la catenaria

derecha

La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

• En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
• En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
• En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.