G-19: Sistema de masas y muelles

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Modelo masa-resorte. Grupo 19-B
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2013-14
Autores	Javier Abad, Jesús Castaño, Ignacio Embid, Ángela Pozo, Javier Pérez, Cristino Pérez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este trabajo vamos estudiar el comportamiento del sistema formado por 3 masas y 4 muelles de constantes k1, k2, k3 y k4, limitados por paredes verticales en ambos extremos.

Sistema formado por 3 masas y 4 muelles, limitado por dos paredes verticales

1 Ecuaciones del movimiento

m1: [math]m_1x_1'' = - k_1x_1 + k_2(x_2 - x_1)[/math] m2: [math]m_2x_2'' = - k_2(x_2 - x_1) - k_3x_2[/math] m3: [math]m_3x_3’’= -k_3(x_3-x_2)- k_4x_3[/math]

2 Apartado segundo

Suponiendo que en el instante t= 0 las tres masas están desplazadas 0.5, 1 y 0.8 metros hacia la derecha de la posición de equilibrio y se sueltan repentinamente, sin velocidad, calcule la posición x1(t), x2(t), x3(t), con respecto a su estado de equilibrio. Suponer [math]k_1 = 4N/m[/math]; [math]k_2 = 2N/m[/math]; [math]k_3 = 1N/m[/math]; [math]k_4 = 3N/m[/math]; [math]m_1 = 2kg[/math]; [math]m_2 = 1kg[/math];[math]m_3 = 3kg[/math]; que la distancia entre las paredes es de 12 metros y que en equilibrio las tres masas están en las posiciones [math]x_1 = 2.5m[/math] ; [math]x_2 = 4m[/math]; y [math]x_3 = 8m[/math] respectivamente. utilizar el método de Euler modificado y Runge-kutta, después de reducrilos a un sistema de primer orden con h= 0.1m y h =0.025m, comparando e interpretando los resultados.

Método de Euler modificado:

%euler modificado

%Datos
t0=0;
tf=10;
x0=[0,0,0,0.5,1,0.8]';
k1=4;
k2=2;
k3=1;
k4=3;
m1=2;
m2=1;
m3=3;


%Discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;

%vector tiempo y matriz posicion
t=t0:h:tf;
x=zeros(6,N+1);


%Inicializamos
x(:,1)=x0;
xx=x0;

% Nota: la funcion no depende del tiempo luego el tiempo no esta presente
%Interacciones
for n=1:N
        
        K1=[-k1/m1*xx(4)+k2/m1*(xx(5)-xx(4));-k2/m2*(xx(5)-xx(4))+k3/m2*(xx(6)-xx(5));-k3/m3*(xx(6)-xx(5))-k4/m3*xx(6);xx(1);xx(2);xx(3)];
        
        xp=(xx+h*K1/2);
        K2=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)];
        
        xx=xx+h/2*(K1+K2);
        x(:,n+1)=xx;
end
plot(t,x);

Método de runge-kutta:

%runhekuter4


%Datos
t0=0;
tf=10;
x0=[0,0,0,0.5,1,0.8]';
k1=4;
k2=2;
k3=1;
k4=3;
m1=2;
m2=1;
m3=3;


%Discretización
h=0.025;
N=(tf-t0)/h;

%vector tiempo y matriz posicion
t=t0:h:tf;
x=zeros(6,N+1);


%Inicializamos
x(:,1)=x0;
xx=x0;

% Nota: la funcion no depende del tiempo luego el tiempo no esta presente
%Interacciones
for n=1:N
        
        K1=[-k1/m1*xx(4)+k2/m1*(xx(5)-xx(4));-k2/m2*(xx(5)-xx(4))+k3/m2*(xx(6)-xx(5));-k3/m3*(xx(6)-xx(5))-k4/m3*xx(6);xx(1);xx(2);xx(3)];
        
        xp=(xx+h*K1/2);
        K2=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)];
        
        xp=(xp+h*K2/2);        
        K3=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)];
            
        xp=(xp+h*K3/2);        
        K4=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)];
        
        xx=xx+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
        x(:,n+1)=xx;
end
plot(t,x);