Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 61)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ondas y Campos Vectoriales en un Arco. Grupo 61
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Marco Antonio Vives Rocamora Pelayo Álvarez Fernández Álvaro Rodríguez Javier Portabella Javier Sánchez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 . Definición del Arco.

1.1 . Arco

La región geométrica que se analiza en este trabajo corresponde a un arco circular, es decir, a una corona comprendida entre dos radios concéntricos. El dominio está limitado por un radio interior igual a 1 y un radio exterior igual a 2, de modo que todos los puntos del arco verifican

[math]\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;[/math]

Esta descripción en coordenadas cartesianas puede expresarse de forma más natural mediante coordenadas polares. En dichas coordenadas, la geometría del arco queda caracterizada por los siguientes rangos:

• \(\rho \in [1,2]\)
• \(\theta \in [0,2\pi]\)

lo que representa una corona circular completa alrededor del origen.

Sobre este dominio se estudiará el efecto de un campo de desplazamientos aplicado a la superficie del arco. Dicho campo es puramente radial y viene dado por

[math]\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}[/math]

Este desplazamiento puede interpretarse como una deformación que separa las circunferencias de radio 1 y 2 sin introducir componente angular. El análisis de este campo permitirá calcular e interpretar magnitudes como el gradiente, la divergencia, el rotacional y las tensiones asociadas al material del arco.

1.2 . Mallado del arco

Para poder trabajar numéricamente sobre el arco es necesario discretizarlo, es decir, construir una malla de puntos en su interior. Partimos de la descripción del dominio en coordenadas polares:

[math]1 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi[/math]

que corresponde a una corona circular completa alrededor del origen.

El mallado se obtiene tomando un número finito de valores igualmente espaciados de [math]\rho[/math] y [math]\theta[/math]. A partir de ellos se construye una rejilla en el plano [math](\rho,\theta)[/math] y, usando el cambio a coordenadas cartesianas:

[math] x = \rho \cos\theta,\qquad y = \rho \sin\theta [/math]

se obtienen las coordenadas [math](x,y)[/math] de todos los puntos de la malla. Las líneas de [math]\rho[/math] constante dan lugar a circunferencias, mientras que las líneas de [math]\theta[/math] constante se representan como radios. El resultado es una malla estructurada formada por curvas radiales y circunferenciales que recubre todo el dominio del arco y que servirá de base para representar los distintos campos escalares y vectoriales en los apartados siguientes.

Mallado del arco realizado a través de Matlab:

Representación del mallado del arco mediante MatLab.

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);


plot(xx, yy, 'r'); 

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');

2 . Temperatura

En este apartado se estudia el comportamiento del campo de temperatura definido sobre el dominio del arco. La temperatura viene dada por la función escalar

[math] T(x,y) = (x - y)^2, [/math]

la cual asigna a cada punto del arco un valor real no negativo. Se trata de un campo escalar sencillo pero representativo, ya que su variación depende de la distancia a la diagonal [math]x = y[/math], lo que permite observar cómo cambian las isótemas dentro de un dominio curvilíneo.

El análisis de la temperatura se divide en dos partes. En primer lugar, se representa el campo mediante un mapa de colores sobre el dominio discretizado, lo que permite visualizar de forma inmediata las zonas de mayor y menor temperatura. En segundo lugar, se estudian sus valores extremos dentro del arco, determinando dónde se alcanzan los máximos y mínimos en función de la geometría del dominio.

Este estudio será esencial para comprender el gradiente de la temperatura en el apartado siguiente, ya que las zonas donde [math]T[/math] crece o decrece más rápidamente estarán directamente relacionadas con la orientación del vector [math]\nabla T[/math].

2.1 . Representación

En este apartado se representa gráficamente el campo de temperatura definido por

[math] T(x,y) = (x - y)^2, [/math]

evaluado sobre la malla construida en el arco. Para cada punto de la rejilla [math](x,y)[/math], la función asigna un valor proporcional al cuadrado de la diferencia entre sus coordenadas. Esto implica que la temperatura es mínima sobre la diagonal [math]x = y[/math] y aumenta conforme los puntos se alejan de dicha línea.

La representación se realiza mediante un mapa de colores sobre el dominio, utilizando la misma malla generada en el apartado anterior. Este tipo de visualización permite identificar rápidamente las regiones de temperatura elevada (colores cálidos) y las zonas donde [math]T[/math] es más baja (colores fríos). La variación del campo resulta suave y simétrica respecto a la recta [math]x = y[/math], lo que facilita su análisis en apartados posteriores.

% Representación de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (X - Y).^2;          % Cálculo de la temperatura en cada punto del arco

figure

contourf(X, Y, T, 20)    % Mapa de colores de la temperatura

colormap(jet)            % Escala de colores

colorbar                 % Barra lateral de valores

title('Temperatura en el arco')

xlabel('x')              % Etiqueta del eje x

ylabel('y')              % Etiqueta del eje y

axis equal               % Mantener proporción real en la figura

3 . Gradiente de T y curvas de nivel

(Gráficas + explicación + código)

4 . Campo de Vectores en el Sólido (u).

Tenemos el campo vectorial en coordenadas cilíndricas: [math]\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho[/math]. Vamos a representarlo en los puntos del mallado del sólido.

% Defino el paso para el muestreo. Con él, defino los posibles radios.
h = 1/10;
r = 1:h:2;

% Calculo el número aproximado de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Vector en el que asigno un ángulo de 0 a pi a cada punto.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(r,ang);

% Paso a coordenadas cartesianas.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Empiezo el dibujo. Creo las radiales y las circunferencias.
figure;

plot(x,y,'r');
hold on
plot(x',y','r');
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Campo Vectorial: u(ρ,θ)=15(ρ−1)ρ eρ');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% Campo Vectorial Radial.
ri = 1;
re = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(ri, re, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R.*cos(THETA);
Y = R.*sin(THETA);

% Componente Radial.
U_rho = (1/5)*(R-1).*R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Paso a Cartesianas
U = U_rho.*cos(THETA)-U_theta.*sin(THETA);
V = U_rho.*sin(THETA)+U_theta.*cos(THETA);

% Flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2);

hold off

5 . Sólido antes y después del desplazamiento

(Figuras + explicación + código)

6 . Divergencia de u

(Gráfica + explicación + código)

7 . Rotacional de u

(Gráfica + explicación + código)

8 . Tensiones normales en dirección e_ρ

(Gráficas + explicación)

9 . Tensiones normales en dirección (1/ρ)e_θ

(Gráficas + explicación)

10 . Tensiones tangenciales

(Gráficas + explicación)

11 . Masa total con densidad dada

(Cálculo + código)

12 . Ejemplo ingenieril

(Breve explicación)

13 Código MATLAB completo

% aquí va todo el código

14 Bibliografía

• Apuntes Teoría de Campos (Moodle)
• Notas sobre curvas planas y superficies regladas