Grupo 9 - Modelos Epidemiológicos(4)

 TRABAJO 4 – EPIDEMIAS – GRUPO 9  

1 1.- INTERPRETACIÓN DE LOS PARÁMETROS

Consideradas las variables:

(t)=tiempo (S):población susceptible a contraer la enfermedad (por encontrarse en la zona de riesgo) (I):población de individuos infectados. Teniendo el sistema: [math] \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI ; \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI [/math]

Siendo a, b, c parámetros. De acuerdo con las hipótesis , hemos interpretado dichos parámetros. La ecuación I. es una función decreciente con el tiempo (suponemos constantes positivas). Se observa que la variación de la población S a lo largo del tiempo está en función del producto de la S y de la I, y además multiplicada por el parámetro a. Este parámetro a es el coeficiente que marca el ritmo de variación de sanos e infectados. La ecuación II. nos muestra la variación de la población ya infectada. El primer término de la ecuación se refiere a lavariación de la población infectada( aSI).Dentro de la población infectada habrá que restarle el número de curas y elnúmero de muertes. Puesto que dejan de formar parte de la población infectada,esto se observa en los dos últimos términos de la ecuación II. (-bI-cI). Por lo que: Parámetro b representa las curas. Parámetro c representa las muertes

2 2.- MÉTODO DE EULER PARA VALORES INICIALES CONOCIDOS

Utilización el método de Euler para resolver el sistema; del que nos dan los valores iniciales. a)S0=700 , I0=1 ; b)S0=500 , I0=2 ; dónde I0 Y S0 son los valores iniciales de infectados y susceptibles a contraer la enfermedad respectivamente. Para ambos casos, daremos como paso de discretización temporal : h1=1E-1 ; h2=1E-2 ; h3=1E-3 ; h4=1E-4 ; Utilizaremos el siguiente programa de MATLAB

clear all
t0=0 ; tN=30 ;
h=1E-1;
%h=1E-2;
%h=1E-3;
h=1E-4;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
a=0.003;b=0.3;c=0.2;
S0=700;I0=1;
%S0=5000;I0=5;
for n=1:N;
T=[S(n);I(n)]+[h*(-A)*S(n)+I(n);h*A*S(n)*I(n)*[0;h*(b+c)*I(n)];
S(n+1)=T(1);
I(n+1)=T(2);
end
plot(t,S,'r',t,I,'g')

A continuación hemos realizado una comparación para los 4 valores de h; dónde observamos claramente que es mas fiable cuanto menor sea , es decir para h=1E-4.

3 3.- INTERPRETACIÓN DE UNOS NUEVOS VALORES A ELEGIR

Ante la posibilidad de poder elegir el número de infectados y susceptibles a serlo; hemos dado valores iniciales significativos para poder comparar los dados y los elegidos. Tomando en este caso, 700 susceptibles y 500infectados.

Primero valoraremos la gráfica del anterior ejercicio, para poder así compararla con la de este. Presenta una fase inicial con un crecimiento apenas apreciable hasta el segundo día a partir del cual los enfermos presentan un incremento relativamente exponencial hasta alcanzar un máximo en torno a los 300 sujetos alos 5 días del inicio del proceso , de ahí en adelante presenta un pendiente negativa bastante acusada provocada por las curaciones , o bien ,fallecimientos de los afectados, alcanzando valores cada vez menores .Alcanzando valores casi despreciables.

Mientras que para los nuevos valores se produce un desplazamiento de los gráficos hacia la región izquierda, con formas mucho más acusadas lo que nos da a entender que el número de afectados sufre incrementos mucho mayores que en el primer caso analizado para el mismo periodo de tiempo e incluso llegándolo a reducir. Análogamente, esta situación se desarrolla de forma similar en el decrecimiento de los enfermos, alcanzando valores despreciables en un periodo más breve. Se presupone, y así se observa, que al modificarse los gráficos de los infectado a formas más bruscas, ocurrirá lo mismo con el que representa la población susceptible de enfermar, dada la proporcionalidad de los parámetros. Cabe remarcar que, a partir de ciertos valores iniciales de infectados, la gráfica no puede ser en ningún caso un reflejo de la realidad puesto que el máximo de enfermos alcanzado en estos casos presenta un valor superior altotal de la población susceptible. Ciñéndonos a aspectos puramente matemáticos, el análisis será similar al realizado, sin embargo, en la aplicación a un caso real la función de infectados crecerá únicamente hasta alcanzar el número de individuos susceptibles de enfermar siendo imposible superar este valor. Partiendo de las conclusiones obtenidas en la primera comparación, es de esperar que las modificaciones producidas en la primera comparación se desarrollaran de forma similar en el segundo caso.

En la tabla siguiente se comprueba la veracidad de este razonamiento resaltando únicamente las claras diferencias entre las pendiente de ambos casos provocadas por la diferencia en el tamaño poblacional.

4 4.-MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

El programa de Matlab será:

t0=0;tN=30;
a=0.003;b=0.3;c=0.2;
S0=700;I0=1;
h=1E-4;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN
;S(1)=S0; I(1)=I0; 
p(1)=0; q(1)=0;
for n=1:N
for i=1:1:5
p(i+1)=(-a)*(S(n)+h*p(i)/2)*(I(n)+h*q(i)/2);        
q(i+1)=(a)*(S(n)+h*p(i)/2)*(I(n)+h*q(i)/2)-(b+c)*(I(n)+h*q(i)/2);    
end        
S(n+1)=S(n)+(h/6)*(p(2)+2*p(5)+2*p(3)+2*p(4));        
I(n+1)=I(n)+(h/6)*(q(2)+2*q(5)+2*q(3)+2*q(4));
endeS(1)=S0; 
eI(1)=I0;
for j=1:N    
T=[eS(j);eI(j)]+[-a*h*eS(j)*eI(j);a*h*eS(j)*eI(j)]+[0;-(b+c)*h*eI(j)];    
eS(j+1)=T(1);    
eI(j+1)=T(2);
endS(1)=S0; 
eS(1)=700; 
I(1)=I0; 
eI(1)=1;
for k=1:N   
ErrS(k+1)=eS(k)-S(k);   
ErrI(k+1)=eI(k)-I(k);
endsubplot(2,2,1)
plot(t,S,'b',t,I,'r')
subplot(2,2,2)
plot(t,eS,'b',t,eI,'r')
subplot(2,2,3)
plot(t,ErrS,'b')
subplot(2,2,4)
plot(t,ErrI,'r')

En esta gráfica comparamos la gráfica de Euler con la gráfica de Runge-Kutta:

En el estudio numérico, para la aproximación de las funciones solución de ecuaciones diferenciales, son numerosos los métodos a utilizar. Como primer aspecto para distinguir, sin entrar a analizar el grado de precisión que estos nos ofrecen, aparece la forma en que la función incógnita se encuentra en la ecuación (diferencial).Cabe destacar que el tipo de ecuaciones hasta ahora estudiadas, así como los sistemas, tomarán como máximo derivadas de la función solución, de orden 1 ó 2 . Apareciendo pues la primera clasificación de los métodos numéricos, para la aproximación de soluciones. Sea la ecuación diferencial, de la cual se busca la solución de la forma:

y’=f(t,y) (1) ó bien y’’=f(t,y,y’) (2)

En esta explicación tomaremos como ejemplo, únicamente las funciones de la forma (1), siendo análoga la explicación para el resto.

4.1 Métodos implícitos

Aquellos en los que la el valor que se busca , se encuentra de forma implícita, con lo que es necesario despejar dicho valor, hasta hallar la expresión explícita. Normalmente suele resultar compleja la obtención de dicha expresión.

4.2 Métodos explícitos

Se trata de aquellos en los que la expresión del valor que se desea obtener se encuentra directamente despejada.

La diferencia entre ambos hace que el uso de los métodos implícitos entrañe mayor dificultad, para lo cual se pone como ejemplo el método del trapecio, que aunque más preciso .

5 5.- INFECTADOS EN EL MOMENTO DE DETECCIÓN DE LA ENFERMEDAD

Sabiendo que después de 15 días de la misma el numero de infectados es 300 en una población susceptible de 20.000. Utilizaremos el siguiente programa en MATLAB :

t0=0; tN=15;
h=1E-2;
N=(tN-t0)/h;
a=0.003;b=0.3;c=0.2;
yS(1)=20000;
yI(1)=300;
for i=1:N
y=[yS(i);yI(i)]+[-a*h*yS(i)*yI(i);a*h*yS(i)*yI(i)]+[0;-(b+c)*h*yI(i)];
yS(i+1)=y(1);
yI(i+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
yS=fliplr(yS);
yI=fliplr(yI);
plot(t,yI,'r')
yI(1)%SOLUCIÓN a tiempo=0

El resultado será de 11 (11,5) personas infectadas.

6 AUTORES

--Guillermo Rodríguez (discusión) 23:18 3 mar 2013 (CET)--JDiezOlaya (discusión) 23:15 3 mar 2013 (CET) ,Jorge Sempere , David Vicente Toural, Macarena Pastor Ramirez y María Fernández Ciudad