Parametrización de la Presa de El Atazar (Grupo 31)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Parametrización de la Presa de El Atazar. Grupo 31
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Carlos García Molina Diego Hernández Menéndez Rafael García Pérez Mateo Caturla Garrido
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La Presa de El Atazar es la mayor presa de la Comunidad de Madrid, y es considerada una de las mayores obras de la ingeniería española. Está situada en la corriente del río Lozoya, un afluente del Tajo, y en su interior almacena 426 hm³, los cúales corrsponden al 46% del volumen de agua embalsada de la comunidad.

1.1 Historia

La construcción de la presa empezó en 1965 con un coste inicial de mil millones de pesetas, que acabó ascendiendo a una cifra en torno 3000 y 3500 millones. Hoy en día contando con la inflación equivaldría a 388 millones de euros aproxidamente. El principal objetivo de la obra fue dotar a la región de un suministro permanente de agua durante todo el año, y además se pudó regularizar el caudal del río Lozoya. Otra de sus funciones es actuar como gran reserva de embalses más pequeños de la zona. En 1992 la presa fue incluida en el Plan Integral de Aprovechamiento del Recurso Hidroeléctrico del Canal de Isabel II para aprovechar la energía hidroeléctrica que genera. Finalmente, tras alguna complicación debido a la litología del terreno, fue inagurada en 1972.

2 Superficie parametrizada de la presa en su cara aguas arriba

Primero se definen las dimensiones de la presa y se crea la malla base para la fachada. Después, se obtiene el valor de 𝜌 utilizando la ecuación: [math]\rho = \rho_0 + b \left( 1 - \frac{z^2}{H^2} \right)[/math] Por último, se convierten las coordenadas para graficar la figura resultante con el comando surf.

Representación de Superficie Mallada

H = 134;      % Altura
rho0 = 150;   % Radio
b = 40;       % Parámetro de curvatura
% Definimos la alrura de 0 a H
z = linspace(0, H, 50);
theta = linspace(2*pi/3, 4*pi/3, 50);
% Creamos la malla
[Z, TH] = meshgrid(z, theta);
% Calculamos Rho:
Rho = rho0 + b * (1 - (Z.^2) / (H^2));
% Convertimos de cilíndricas a (X, Y, Z)
X = Rho .* cos(TH);
Y = Rho .* sin(TH);
figure;
surf(X, Y, Z);
% Estética del gráfico
title('Representación de la Presa de El Atazar (Cara Aguas Arriba)');
xlabel('X metros');
ylabel('Y metros');
zlabel('Z Altura en metros');
axis equal;           
shading interp;      
colormap summer;      
colorbar;
grid on;

3 Campo escalar de presión

La distribución hidrostática de presiones sobre la superficie aguas arriba puede describirse mediante la expresión

[math] P(z)=\rho\, g\, h(z), [/math]

donde

𝜌 ρ representa la densidad del agua,

𝑔 g es la aceleración debida a la gravedad,

ℎ ( 𝑧 ) h(z) corresponde a la columna de agua situada por encima de la cota 𝑧 z.

Esta función permite visualizar la variación de presión a lo largo del paramento mojado, identificando claramente las zonas sometidas a mayores solicitaciones. En la representación gráfica se distinguen dos gamas cromáticas: los colores fríos, asociados a regiones donde la presión es menor, y los colores cálidos, que indican los puntos de presión más elevada. Este comportamiento concuerda con la teoría hidrostática, pues la presión aumenta con la profundidad y alcanza su valor máximo en la base de la presa, disminuyendo gradualmente hacia la coronación.

Figura 2. Representación del campo escalar sobre la superficie parametrizada

% Parámetros físicos
rho = 1000; % Densidad del agua (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)

% Cálculo de la presión en función de la altura
P = rho * g * (H - Z); % Presión hidrostática en la superficie

% Visualización de la superficie con colores representando la presión
figure;
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie con mapa de colores basado en P
xlabel('Eje X (m)');
ylabel('Eje Y (m)');
zlabel('Eje Z (m)');
title('Presión sobre la superficie de la presa');

% Configuración de colores y visualización
colormap(jet); % Paleta de colores para la presión
colorbar; % Barra de colores para interpretar la presión
axis equal; % Igualar las escalas de los ejes
view(3); % Vista tridimensional
grid on; % Mostrar la cuadrícula

3.1 Campo vectorial de la fuerza de presión

Figura 3. Campo vectorial tridimensional asociado a la fuerza de presión.

Figura 4. Proyección vertical del campo de fuerzas hidrostáticas.

% Parámetros de la presa
rho = 1000; % Densidad del agua (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración gravitatoria (m/s^2)
H = 134; % Altura de la presa (m)
r0 = 968/pi; % Radio en la altura máxima (m)
b = 35; % Factor de curvatura del arco parabólico (m)

% --- Gráfica 1: Toda la presa ---
% Coordenadas cilíndricas
theta = linspace(3pi/4, 5pi/4, 20); % Ángulo θ
z = linspace(0, H, 20); % Altura z
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z); % Mallado para θ y z
R = r0 + b * (1 - Z.^2 / H^2); % Radio en función de z

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta); % Coordenadas X
Y = R .* sin(Theta); % Coordenadas Y

% Derivadas parciales para las normales
dr_dz = -2 * b * Z / H^2; % Derivada parcial de r respecto a z
n_r = 1 ./ sqrt(1 + dr_dz.^2); % Componente radial del vector normal
n_x = n_r .* cos(Theta); % Proyección de la normal en X
n_y = n_r .* sin(Theta); % Proyección de la normal en Y

% Campo de presión
P = rho * g * (H - Z); % Presión en función de la profundidad

% Vectores de fuerza de presión
F_x = -P .* n_x; % Componente en X
F_y = -P .* n_y; % Componente en Y

% Representación gráfica de toda la presa
figure;
quiver3(X, Y, Z, F_x, F_y, zeros(size(F_x)), 1, 'b');
title('Fuerza de presión en la presa (3D)');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
grid on;
axis equal;

% --- Gráfica 2: Corte vertical ---
% Coordenadas cilíndricas para el corte vertical (θ = π)
theta_cut = pi; % Corte en θ = π
z_cut = linspace(0, H, 20); % Altura z
R_cut = r0 + b * (1 - z_cut.^2 / H^2); % Radio en función de z

% Coordenadas cartesianas para el corte
X_cut = R_cut .* cos(theta_cut); % Coordenadas X (constante para θ = π)
Z_cut = z_cut; % Coordenadas Z

% Derivadas parciales para calcular las normales
dr_dz_cut = -2 * b * Z_cut / H^2; % Derivada parcial de r respecto a z
n_r_cut = 1 ./ sqrt(1 + dr_dz_cut.^2); % Componente radial del vector normal
n_x_cut = n_r_cut .* cos(theta_cut); % Proyección de la normal en X
n_z_cut = -dr_dz_cut .* n_r_cut; % Proyección de la normal en Z

% Campo de presión
P_cut = rho * g * (H - Z_cut); % Presión en función de la profundidad

% Vectores de fuerza de presión (en el plano X-Z)
F_x_cut = -P_cut .* n_x_cut; % Componente en X
F_z_cut = -P_cut .* n_z_cut; % Componente en Z

% Representación gráfica del corte vertical
figure;
quiver(X_cut, Z_cut, F_x_cut, F_z_cut, 1, 'r');
title('Fuerza de presión en el corte vertical (X-Z)');
xlabel('X (m)');
ylabel('Z (m)');
grid on;
axis equal;

Los resultados obtenidos concuerdan con el comportamiento hidrostático esperado: la magnitud de la fuerza de presión crece conforme aumenta la profundidad, de modo que los vectores correspondientes a la zona inferior presentan mayor intensidad (colores más cálidos), mientras que en las proximidades de la coronación se observan fuerzas notablemente menores (tonos más fríos). Esta tendencia refleja el incremento lineal de la presión con la profundidad.

4 Cálculo de la fuerza de presión total y la presión por unidad de superficie

A continuación, se determinarán la fuerza total debida a la presión y la presión distribuida por unidad de superficie para dos valores diferentes del parámetro de curvatura: 𝑏 = 40 m, correspondiente al caso de doble curvatura, y 𝑏 = 0 m, que representa el caso de curvatura simple. Finalmente, se analizará cuál de estas dos configuraciones presenta una mejor capacidad de resistencia frente a la presión.

Los datos empleados para la realización de los cálculos son los siguientes:

𝐻 = 134 m: altura de la presa;
𝜌0 = 150 m: radio en la coronación (altura máxima);
𝑏 = 40 m: parámetro de curvatura parabólica.