Tratamiento de residuos mediante análisis compartimental (Grupo 15B)

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1 Introducción

Tenemos tres pantanos A, B y C con 300 Hm3 de agua cada uno y con capacidad máxima de 500Hm3. Los pantanos A y C pueden recibir agua procedente de un rio y también pueden desalojarla por canales artificiales, pero tanto la entrada como salida de agua está regulada. Al pantano B puede fluir agua del rio, pero este pantano no tiene canal de desalojo de agua. Se produce un vertido tóxico al rio y al activar la entrada y salida a los pantanos del agua procedente del río, al pantano B empieza a entrar agua contaminada a razón de 2Hm3/día con 10kg/Hm de contaminante, mientras que:

hacia el pantano A entra agua contaminada a razón de 2Hm3/día con 5kg/Hm3 de contaminante y el agua contaminada sale por el canal a razón de 3Hm3/día; hacia el pantano C entra agua contaminada a razón de 2Hm3/día con 0,05kg/Hm3 de contaminante y el agua contaminada sale por el canal a razón de 1Hm3=día;

Cuando el pantano B se ha llenado, las autoridades cortan el acceso de agua al pantano B y filtran la entrada de agua a los pantanos A y C, de tal manera que deja de entrar agua contaminada.

En este momento, si designamos por xA(0), xB(0), xC(0) y VA, VB y VC la cantidad de contaminante y el volumen de agua respectivamente que hay en los pantanos A, B y C, determine estas cantidades.

Para intentar eliminar el contaminante de los pantanos, se bombea agua entre estos, quedando la situación como sigue: al pantano A sigue entrando agua desde el rio a razón de 2Hm3/día, pero sin contaminar, y sale por el canal artificial 3Hm3/día de agua contaminada. Del pantano B al A entra agua a razón de 3Hm3/día y de A hacia B a razón de 2Hm3/día; al pantano C sigue entrando agua desde el rio a razón de2Hm3/día, pero sin contaminar y sale por el canal artificial 1Hm3/día de agua contaminada. Del pantano B recibe 1Hm3/día y sale hacia B 2Hm3/día;

Si xA(t), xB(t) y xC(t) designan la cantidad de contaminante que hay en los pantanos A, B y C cuando han pasado todas desde que dejó de entrar agua contaminada hacia los pantanos, se pide:

1. Obtenga el problema de valor inicial que satisfacen xA(t), xB(t) y xC (t).

2. Resuelva numéricamente este problema de valor inicial en [0; 50], [0; 100] y [0; 300] (medimos

en d as) utilizando el método de Euler, método trapezoidal y método de Runge-Kuta, con una longitud de paso h = 1 y h = 0:1. >Puede resolver numéricamente en [0; T1] cuando T1 es tan grande como uno quiera ?. En la cuestión acabada de plantearse, ¿tiene algo que ver el tamañoo de h?.

3. Parece razonable de que xA(t) y xC (t) empezaran siendo crecientes, para luego pasar a ser decrecientes, mientras que xB(t) siempre va a ser decreciente.

De un valor aproximado del valor máximo de xA(t) y xC (t).

Si t es muy grande, >a que valores se aproximan xA(t), xB(t) y xC (t)? ¿En que tiempos los valores de las concentraciones se hacen próximos a los que toman para tiempos grandes?

Las autoridades consideran que ha desaparecido la contaminación de los pantanos, cuando las cantidades xA(t), xB(t) y xC (t) sean menores que 0:01. ¿Puede dar una estimación del número de días a partir de los cuales, podemos pensar que ha desaparecido la contaminación?

2 Condiciones iniciales

Buscamos definir el aumento de la masa del contaminante respecto al tiempo en cada uno de los pantanos, incomunicados entre si. Para ello, calcularemos el desarrollo de la concentración, definida como la masa del soluto entre el volumen de la disolución.

Situación inicial para el cálculo analítico

La cual aplicada al desarrollo del volumen respecto al tiempo nos permite obtener las ecuaciones diferenciales correspondientes.

2.1 Pantano A:

Dados los datos iniciales del pantano:

[math]X_{entrada}= 5 Kg/Hm^3[/math]

[math]V_{entrada}= 2 Hm^3/día[/math]

[math]V_{salida}= 3 Hm^3/día[/math]

[math]V_{entrada soluto} (t)= 2 Hm^3/día \times 5 Kg/Hm^3=10 Kg/día[/math]

[math]V_{inicial}=300 Hm^3[/math]

Podemos desarrollar las ecuaciones que definen las variables respecto al tiempo:

[math]V(t)=V(0)+(V_{entrada}-V_{salida})t=300+(2-3)t[/math]

[math]C(t)=X(t)/(300+(2-3)t)[/math]

[math]V_{salida soluto} (t)=3 Hm^3/día \times Q(t)/(300-t)[/math]

Y así, el incremento diferencial de masa respecto al tiempo será:

[math]X_A’=10-3X_A(t)/(300-t)[/math]

Esta ecuación diferencial lineal se resuelve analíticamente, obteniendo una solución tal que, con la condición inicial de [math]Q(0)=0[/math] podemos reducir el haz a una solución final:

[math]X_A(t)= 5(300-t)-5,55 \times 10^{-5} \times(300-t)[/math]

2.2 Pantano B

En este caso el problema que se plantea es más sencillo, ya que este pantano no tiene salida antes de alcanzar las condiciones iniciales. Así pues:

[math]X_{entrada} = 2 Hm^3/día[/math]

[math]V_{max}= 500Hm^3[/math]

[math]V_{inicial}= 300 Hm^3[/math]

[math]V_{salida}= 0 Hm^3[/math]

[math]X_{entrada}=10 Kg/Hm^3[/math]

Al no vaciarse, tendrá un incremento directo de volumen:

[math] \Delta V= 500-300= 200 Hm^3[/math]

Con lo que calculamos el tiempo que tarda en llenarse:

[math]t= 200 Hm^3/ 2 Hm^3/día = 100 días[/math]

2.3 Pantano C

Este caso es idéntico al Pantano A:

[math]V_{entrada}= 2 Hm^3/día[/math]

[math]V_{max}= 500 Hm^3[/math]

[math]V_{inicial}= 300 Hm^3[/math]

[math]X_{entrada}= 0,05 Kg/Hm^3[/math]

[math]V_{salida}=1 Hm^3/día[/math]

[math]V_{entrada soluto}= 0,05 Kg/Hm^3 \times 2 Hm^3/día= 0,1 Kg/día[/math]

[math]V(t)=V(0)+(V_{entrada}-V_{salida})t=300+(2-3)t[/math]

[math]C(t)=X(t)/(300+(2-1)t)[/math]

[math]V_{salida}= 300 Hm^3/díax X_C/(300+t)[/math]

La ecuación será:

[math]X_C'= 0,1-3X_C/(300+t)[/math]

Siendo su solución en [math]Q(0)=0[/math] la siguiente:

[math]X_C(t)= (300+t)/40-300^4/40(300+t)^3[/math]

2.4 Obtención de los Valores Iniciales

Obtenidas las ecuaciones que definen los 3 pantanos, basta con aplicar la condición de t=100 días para obtener las condiciones iniciales de volumen de disolución y masa del soluto en cada uno de ellos:

Pantano A:

[math]X_A=556 Kg[/math]

[math]V_A=200 Hm^3[/math]

Pantano B:

[math]X_B=2000 Kg[/math]

[math]V_B=500 Hm^3[/math]

Pantano C:

[math]X_C=6, 8359 Kg[/math]

[math]V_C=400 Hm^3[/math]

3 Resolución numérica

3.1 Planteamiento

Con la nueva dinámica que producen los trasbases, pasamos a trabajar con los siguientes datos, además de los datos iniciales anteriormente obtenidos:

Pantano A Entra= 2Hm3/día limpia Sale= 3 Hm3/día sale

Del Pantano B al A= 3 Hm3/día Del Pantano A al B= 2 Hm3/día

Pantano C Entra= 2 Hm3/día limpia Sale= 1 Hm3/día

Del B al C= 1Hm3/día Del C al B= 2Hm3/día

Situación inicial para el cálculo numérico

A partir de ahora los pantanos no trabajan de forma independiente, sino que el desarrollo de cada uno es dependiente de los otros dos. Así pues, trabajaremos en un sistema de ecuaciones diferenciales: