Onda Transversal plana (G.53)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Onda Transversal plana (G.53).
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Carmen Fernández Genoveva Moreno Victoria González Cayetana Ortiz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

4 Campo de vectores desplazamiento a través de la placa

A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

[math] \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}[/math]  y  [math]\vec{b}=\pi\vec{j}[/math], el desplazamiento viene dado por la expresión: [math]\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}[/math]

Esto implica que la componente horizontal es: [math] u_x=0.1cos({Π}y)[/math]   mientras que la componente horizontal es nula: [math]u_y=0[/math]

A continuación se representa esta campo vectorial sobre el mallado del sólido:

Imagen del campo de desplazamientos

Apartado 4: mallado campo de vectores u(x,y)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;

[X,Y] = meshgrid(x,y);      % mismo mallado que antes

% u(x,y) = (1/10) cos(pi*y) i
ux = 0.1 * cos(pi * Y);     % componente en x
uy = zeros(size(Y));        % componente en y
figure;

quiver(X, Y, ux, uy);       % dibuja el campo de vectores
axis equal;
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');

title('Campo de desplazamientos u(x,y) = (1/10) cos(\pi y) \bfi');
grid on;

5 Placa desplazada

En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento:

[math]\vec{u}(x,y) = (0.1\cos(\pi y),\, 0).[/math]

En el primer subplot aparece la placa original, y en el segundo la placa desplazada. Como el desplazamiento solo actúa en la dirección horizontal y depende de y, cada punto se mueve lateralmente una cantidad distinta. Esto permite visualizar de forma directa cómo la onda transversal deforma la placa de manera no uniforme.

Placa antes y después del desplazamiento.

Apartado 5: Placa antes y después del desplazamiento

% Mallado (usa el mismo que en el apartado 4)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));

% Puntos desplazados
X_new = X + ux;
Y_new = Y + uy;

% Figura con dos subplots
figure;

% Subplot 1: placa original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa original');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;

% Subplot 2: placa desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa desplazada');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;

6 Divergencia del campo de desplazamiento

En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

[math]\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)[/math]

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como [math]u_x[/math] solo depende de [math]y[/math], su derivada respecto de [math]x[/math] es cero, y puesto que [math]u_y=0[/math], también lo es su derivada respecto de [math]y[/math]. Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

[math]\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0[/math]

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

Divergencia del campo de desplazamientos (nula en todo el dominio)

Apartado 6: Divergencia de u

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y);   % componente horizontal del desplazamiento
uy = zeros(size(Y));      % componente vertical = 0

% Cálculo de la divergencia: div(u) = d(ux)/dx + d(uy)/dy
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% Representación gráfica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);

7 Rotacional

Para calcular el rotacional utilizaremos la siguiente formula: [math]∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}[/math] Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en [math]t=0[/math]: [math]\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}; [/math] [math]∇ × \vec{u}[/math] = [math]\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; [/math]

Por lo tanto, el módulo es: [math]|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )[/math]

Con la grafica podemos llegar a la conclusión que, donde la pendiente de la función que da cuánto se mueve cada punto (esa función es ux(y)u_x(y)ux​(y)) cambia más rápido con y, las partículas tienden a girar más localmente. En la placa eso se traduce en “zonas de mayor torsión” o cizallamiento por la onda.

Archivo:Representación rotacional

Representación rotalcional

clear;clc;
% Creamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimps el campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));
%Calculamos el rotacional
rot_u= (pi/10)sin(pi*Y);
%representacion
figure;
surf(X, Y, rot_u)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('rot(u)');
title('Rotacional de u');
axis([-0.5,0.5,0,4]);
axis equal
colorbar;
view(2);

8 Tensor de tensiones (normales al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math])

Los campos tensoriales permiten representar cantidades tensoriales que dependen del punto en el que nos encontramos. En concreto el campo de tensiones de un sólido, asigna a cada punto el tensor de tensiones.

Se trata de un tensor [math]\mathbf{T}[/math] que, dado un vector unitario [math]\vec{n}[/math], devuelve un vector [math]\mathbf{T} \cdot \vec{n}[/math] que representa la tracción sobre el plano ortogonal a [math]\vec{n}[/math].

La componente [math]\sigma_n = \vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n}[/math] de este vector en la dirección de [math]\vec{n}[/math] corresponde a la tensión normal sobre dicho plano.

En este caso se nos da un tensor de tensiones que depende de otro tenso, el tensor de deformaciones.

El tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación,
[math]Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2[/math] [math]σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ[/math],

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor [math]∇·\vec{u}[/math]; [math]I[/math] es el tensor identidad en [math]R^3[/math], y ([math]λ[/math], [math]µ[/math]) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que [math]λ=µ=1[/math].

Teniendo el vector: [math]\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)[/math]

Calculamos su gradiente

[math] ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]; [math] ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math]
Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones:

[math]Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]

Con la divergencia del campo hallada previamente, [math]∇·\vec{u}=0[/math], definimos el tensor de tensores:

[math]σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]vec{i}[/math] y el eje [math]vec{j}[/math].

[math]\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]
[math]\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]

Observando los resultados, llegamos a la conclusión de que la placa no se comprime ni estira, solo se cizalla. Las tensiones normales son cero porque la onda es puramente transversal. Toda la energía mecánica está en la cizalla σ₁₂. La distribución alternante de “zig–zag” en σ₁₂ produce la forma típica de onda transversal.

9 Tensiones tangenciales al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math]

La componente tangencial [math]\vec{\tau} = \mathbf{T} \cdot \vec{n} - (\vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n})\vec{n}[/math] perpendicular a [math]\vec{n}[/math] representa la tensión cortante en el plano ortogonal a [math]\vec{n}[/math].

Dado que el resultado anterior ha sido: [math]\vec{i}·σ·\vec{i}=0[/math], la tensión tangencial será: [math]σ·\vec{i}[/math].

[math]σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}[/math] [math]|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)[/math]

10 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗

De igual manera, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{j}[/math] son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje [math]x[/math].

La expresión dada es: [math] \left| \sigma \cdot \vec{j} \;-\; (\vec{j}\cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} \right| [/math]

En componentes, con [math] \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} \qquad\sigma_{xy} = \sigma_{yx}\text{)} [/math]

tenemos:

[math] \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. [/math]

Restando:

[math] \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} [/math]

Su módulo es [math]|\sigma_{xy}|[/math].

El campo de desplazamientos es:

[math] \mathbf{u}(x,y)=\left(\tfrac{1}{10}\cos(\pi y),\,0\right) [/math]

La derivada vertical es:

[math] \frac{\partial u_x}{\partial y} = -\frac{\pi}{10}\,\sin(\pi y) [/math]

El tensor de deformaciones simétrico es:

[math] \varepsilon_{xy} = \tfrac12\,\frac{\partial u_x}{\partial y} = -\tfrac12\,\frac{\pi}{10}\,\sin(\pi y) [/math]

Con [math]\lambda = 1[/math] y [math]\mu = 1[/math], las tensiones vienen dadas por:

[math] \sigma = \lambda (\nabla\!\cdot\!\mathbf{u})\,I + 2\mu\,\varepsilon [/math]

Como la divergencia es:

[math] \nabla\cdot \mathbf{u} = 0, [/math]

entonces:

[math] \sigma_{xy} = 2\varepsilon_{xy} = \frac{\partial u_x}{\partial y} = -10\pi \sin(\pi y) [/math]

La magnitud es:

[math] |\sigma_{xy}| = 10\pi\,|\sin(\pi y)| [/math]