El vórtice de Rankine (g.34)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El Vórtice de Rankine (Grupo 34)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Miguel Gómez-Hidalgo Rivas Haytam Imhah Chatoual Darío Pérez Pablo Ramírez Serrano Jorge Machín Menés
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático, ideado por William John Macquorn Rankine, ingeniero y físico escocés. Su diseño estuvo sujeto a la imperiosa necesidad de explicar de manera simplificada los fluidos rotatorios. Este modelo, aplicado a la vida cotidiana permite la descripción de la estructura básica de fenómenos meteorológicos como tornados y huracanes o en ciertos casos puede explicar ciertos aspectos de la ingeniería como la aerodinámica, ayudando a la creación de sistemas como las turbinas o ventiladores. En este trabajo, haremos algunos cálculos interesantes para la comprensión de este modelo. Además, utilizaremos códigos de Matlab para la representación de funciones y campos vectoriales de manera gráfica.

2 Circulación

Dada la función que representa la velocidad del vórtice [math]v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases} [/math], para la situación [math]\rho = \text{R}[/math], tenemos la expresión [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho \;=\; \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math]. Según los datos que nos proporcionan [math](R=250 m; v_{\theta}= 90 m/s )[/math], nos daría un resultado de: [math]\Gamma = 1.4137 \times 10^{5} \ \mathrm{m^2/s} [/math]

Función circulación

% Parámetros
R = 250;           % Radio del núcleo (m)
vR = 90;           % Velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % Circulación total

% Dom
rho = 0:1:1000;    % Distancia radial desde 0 a 1000 m

%Campo de velocidad tangencial según Rankine
vtheta = zeros(size(rho));

inside = (rho <= R);
vtheta(inside) = (Gamma/(2*pi*R^2)) * rho(inside);
outside = (rho > R);
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*rho(outside));

vtheta(1) = 0;  % Velocidad nula en el centro

%% Gráfica del perfil de velocidad
figure('Color', 'w', 'Position', [200 200 700 450]);

plot(rho, vtheta, 'b-', 'linewidth', 2);
hold on

plot(R, vR, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'Markersize', 8, ...
    'DisplayName', sprintf('(R, v_R) = (%d m, %d m/s)', R, vR));

xlabel('\rho (m)', 'FontSize', 12);
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)', 'FontSize', 12);
title(sprintf('Vórtice de Rankine - R = %d m, v_\\theta(R) = %d m/s, \\Gamma = %.2e m²/s', ...
    R, vR, Gamma), 'FontSize', 12);

% Leyenda
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', sprintf('(R, v_R) = (%d, %d)', R, vR), ...
    'Location', 'NorthEast');

% Configuración de ejes
grid on
xlim([0 1000]);
ylim([0 max(vtheta)*1.15]);


% Información en 
fprintf('\n=== VÓRTICE DE RANKINE ===\n');
fprintf('Radio del núcleo: R = %.0f m\n', R);
fprintf('Velocidad en R: v_R = %.0f m/s\n', vR);
fprintf('Circulación: Γ = %.4e m²/s\n', Gamma);
fprintf('Velocidad máxima: v_max = %.2f m/s (en ρ = R)\n', vR);
fprintf('\nComportamiento:\n');
fprintf('- Interior (ρ ≤ R): v_θ ∝ ρ\n');
fprintf('- Exterior (ρ > R): v_θ ∝ 1/ρ\n');

3 Representación de [math]\vec{v}[/math]

Como podemos observar por la expresión del campo de la velocidad, [math]\mathbf{v} = v_\theta(\rho) \, \mathbf{e}_\theta[/math], la velocidad depende de la coordenada radial y no de [math]z[/math]. Además en la ecuación principal de la velocidad, que recordemos:[math]v_\theta(\rho) =\begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R\end{cases}[/math] , se puede apreciar cómo en sí misma no se puede apreciar ninguna [math]z[/math]. Es por ello que el campo vectorial de v es estrictamente horizontal, y está “conviviendo” en un plano bidimensional. Además al no tener la z, la estructura del campo vectorial es la misma a cualquier altura z.

Campo vectorial de [math]\vec{v}[/math]

R = 250;         % r del núcleo (m)
vR = 90;         % v tang en rho=R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR;
% Dom
[x, y] = meshgrid(-800:40:800, -800:40:800);
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);        % dist rad
theta = atan2(y, x);            % áng polar
% Campo de v_theta
vtheta = zeros(size(rho));
% Región interna flujo como sol
inside = rho <= R & rho ~= 0;
vtheta(inside) = (Gamma./(2*pi*R^2)) .* rho(inside);
% Región externa irrotacional
outside = rho > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*rho(outside));
%%Componentes cartesianas de la velocidad
% Direcciones tangenciales
u = -vtheta .* sin(theta);   % componente en x
v =  vtheta .* cos(theta);   % componente en y
% Gráfica quiver
figure('Color','w','Position',[200 200 700 550])
hold on
% Parte interna del vórtice (color azul)
quiver(x(inside), y(inside), u(inside), v(inside), ...
    'Color',[0 0.3 1], 'LineWidth',1.2)
% Parte externa del vórtice (color rojo)
quiver(x(outside), y(outside), u(outside), v(outside), ...
    'Color',[1 0 0], 'LineWidth',1.2)
% Círculo marcando el ojo
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k--', 'LineWidth',1.4)

axis equal
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine (plano horizontal)')
legend('Interior del ojo','Exterior del vórtice','Radio del núcleo')

grid on

4 Vórtices atmosféricos y de Burger-Rott

Uno de los vórtices más conocidos que existen son los tornados, estos son columnas de aire que giran violentamente y se extienden desde las nubes hasta el suelo. Este tipo de vórtice meteorológico se mide mediante la Escala Fujita Mejorada que mide desde EF0 hasta EF5 en función del daño que el tornado causa. Un tornado de intensidad EF5 puede alcanzar vientos de hasta 322 km/h. La formación de un tornado ocurre cuando el aire cálido y húmedo asciende y choca con el frío y seco, creando así inestabilidad atmosférica, acompañada de una tormenta conocida como supercélula. El cambio de dirección del viento provoca que en la parte superior de el tornado tenga corrientes que giran horizontalmente. A medida que se acerca al suelo, estas corrientes se giran e inclinan creando un efecto embudo que arrastra tierra y escombros.

Otro de los vórtices más conocidos son los huracanes, o ciclones tropicales. La intensad de este tipo de vórtices se mide mediante la Escala Saffir-Simpson, que clasifica los huracanes según el daño civil que pueden provocar, pudiendo sobrepasar los 252 km/h. Para que el huracán se forme, necesita agua de mar cálida, aire cálido y húmedo. El aire húmedo, asciende, se enfría y libera calor, creando una zona de baja presión que atrae más aire aumentando los vientos. Debido a la rotación de la tierra, este movimiento se transforma en un patrón espiral formándose los ciclones tropicales.

Otro ejemplo es la tromba marina, esta es un tornado que se forma sobre el agua. Estos tornados de agua se clasifican por la antes mencionada Escala Fujita Mejorada, aunque su intensidad no suele superar los 138 km/h (conocidas como no tornádicas), aunque podrían llegar a superar los 225 km/h. Estas se forman debido a la interacción entre la convección del aire mediante un movimiento ascendente y la rotación sostenida de aire.

Para terminar, los dust devils como su nombre indica, son remolinos de polvo o arena, ligeramente semejantes a los tornados. A este vórtice no se le asemeja como tal a una escala, aunque sin embargo, gracias a su semejanza con los tornados, se les puede asignar como al vórtice de antes, la Escala Fujita Mejorada. Pese a la similitud mencionada, los dust devils son mucho más débiles y menos intensos, alcanzando rara vez un EF1 según su escala. Estos remolinos de polvo se forman cuando una corriente de aire caliente se eleva y comienza a girar. Además, el terreno ha de ser seco y con pequeñas piedras o arena.

La alternativa más realista del vórtice de Rankine es la del vórtice de Burger-Rott. Ambos nos describen vórtices con un núcleo central dónde la velocidad es proporcional a r y que además tiene una región exterior donde disminuye la velocidad. Sin embargo, el modelo de Burger-Rott describe una transición entre el paso del núcleo a la región exterior que es suave, mientras que el de Rankine nos describe una transición bastante brusca. En ambos modelos, el fluido que se presenta tiende a ir hacia dentro, como podemos apreciar en el lavabo cuando taponamos el desagüe y al abrirlo se va moviendo hacia dentro. A parte, este fluido en los dos modelos va hacia arriba o hacia abajo en función de el eje, que es la línea imaginaria ubicada en el centro del vórtice.

5 Divergencia de [math]\vec{v}[/math]

Dada la ecuación de la velocidad (la podemos encontrar en el apartado 2 y 3), se puede apreciar que nos describe la función de movimiento mediante coordenadas cilíndricas. Para calcular la divergencia del campo, debemos aplicar la fórmula [math]\nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_{\rho}) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(v_{\theta})+ \frac{\partial}{\partial z}(v_{z})[/math].Además, podemos observar cómo [math]v_{\rho} = 0; v_{z} = 0; v_{\theta} = v_{\theta}(\rho)[/math]. Por lo tanto; sustituyendo en la fórmula, nos quedaría:[math]\nabla \cdot \vec{v} = \left( \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \cdot 0)+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}\big(v_{\theta}(\rho)\big) + \frac{\partial}{\partial z}(0) \right)= 0 + \frac{1}{\rho}\cdot 0 + 0 = 0.[/math].

Con esto concluimos que la divergencia del campo de velocidad es nulo. Además como ya sabemos, la divergencia de un campo nos indica si el campo se extiende o se contrae en su dominio. O dicho en otras palabras la tasa de cambio volumétrica por unidad de volumen. Por eso, podemos decir que si la divergencia de nuestro campo velocidad es 0 es porque no existe cambio de volumen. Además, por definición, el flujo es incompresible, esto es no hay fuentes (punto donde “sale” el fluido) ni sumideros (punto donde “entra” el fluido).

6 Calcula analíticamente el rotacional y representarlo gráficamente

El rotacional es un operador diferencial que mide la rotación de un campo vectorial alrededor de un punto. Antes de proceder al cálculo rotacional también hay que hacer hincapié en el significado de vorticidad. La vorticidad es el rotacional de un campo vectorial de velocidad v:[math]\vec{\zeta}=\nabla \times \vec{v}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}-\frac{\partial v_\theta}{\partial z}\right)\hat{e}_r+\left(\frac{\partial v_r}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial r}\right)\hat{e}_\theta+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r v_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial v_r}{\partial \theta}\right)\hat{e}_z[/math]

En este caso el rotacional solo tiene una componente[math]v_z[/math] . Por lo tanto, se reduce a: [math]\nabla \times \vec{v}=\frac{\Gamma}{2\pi r^2}\hat{e}_z[/math]

Además, la vorticidad es inversamente proporcional a la distancia, es decir, cuanto más lejos nos encontremos del vórtice menor será la intensidad. Para hacer el cálculo rotacional se hace por separado y para facilitar el cálculo lo hacemos todo en coordenadas cilíndricas:

1.Núcleo (r<R): Principalmente sacamos la velocidad angular en la que en el núcleo se determina a partir de la siguiente fórmula: [math]v_\theta(r)=\omega r[/math] Despejando la velocidad angular y partiendo de los datos proporcionados por el profesor la velocidad angular sería: [math]\omega=\frac{90\,\text{m/s}}{250\,\text{m}}=0,36\,\text{s}^{-1}[/math]. En el núcleo el rotacional es constante por tanto aplicamos la siguiente fórmula: [math]\nabla\times\vec{v}=2\omega\hat{e}_z=2\times 0,36\,\text{s}^{-1}\hat{e}_z=0,72\,\text{s}^{-1}\hat{e}_z[/math]. Por tanto, la vorticidad máxima y uniforme en el núcleo del tornado es [math]0,72\,\text{s}^{-1}[/math].

2.Región exterior (r>R): En la región exterior el vórtice es irrotacional por tanto la vorticidad fuera del núcleo es: [math]\nabla\times\vec{v}=\vec{0}[/math]

7 Mapa de colores del campo escalar [math]\vert \nabla \times \vec{v} \vert[/math]

La vorticidad está concentrada en el núcleo, es decir la circunferencia de radio [math]250\,\text{m}[/math] representada anteriormente por Matlab con color rojo. Y en la región exterior no existe vorticidad por lo tanto esta coloreada por azul, siendo el rojo la máxima vorticidad y el azul la mínima es decir [math]0[/math].

En matlab sería:

% 1. Parámetros Requeridos
R_ = 250;           % Radio del núcleo (m)
V_R = 90;           % Velocidad tangencial máxima en r = R (m/s)

% Cálculo de la velocidad angular (omega) y la vorticidad del núcleo
omega = V_R / R;
zeta_core = 2 * omega; % 0.72 s^-1

% 2. Creación del Dominio (Plano Horizontal)
R_max = 5 * R; % Rango hasta 1250 m del centro
N = 500;       % Número de puntos
x = linspace(-R_max, R_max, N);
y = linspace(-R_max, R_max, N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Calcular la distancia radial r para cada punto
R_grid = sqrt(X.^2 + Y.^2);

% 3. Cálculo del Campo Escalar (Magnitud de la Vorticidad)
% Inicializar la matriz de vorticidad (Zeta) a cero (para la región exterior)
Zeta = zeros(N, N);
% Encontrar los puntos que están dentro del núcleo (r <= R)
indices_core = (R_grid <= R);
% Asignar la vorticidad constante en el núcleo (el valor máximo)
Zeta(indices_core) = zeta_core;

% 4. Representación Gráfica (Mapa de Colores)
figure;
imagesc(x, y, Zeta); % Crea el mapa de colores
axis equal tight;    % Asegura que el círculo no se vea deformado
colorbar;            % Muestra la barra de color con la escala de vorticidad
colormap jet;        % Uso de un mapa de colores común (jet o otro de su elección)
xlabel('Coordenada x (m)');
ylabel('Coordenada y (m)');
title('Mapa de Colores de la Magnitud de la Vorticidad ||\nabla \times \vec{v}||');
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Asegura que Y aumente hacia arriba

% Opcional: Marcar el límite del núcleo (R = 250 m)
hold on;
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 2);
legend('Límite del Núcleo');
hold off;

Mapa de colores de la Magnitud de la Vorticidad, donde el rojo representa el valor máximo ($0,72\text{s}^{-1}$) y el azul representa la vorticidad nula.

8 Comportamiento de una barca respecto al vórtice según su posición

Dependiendo de la zona en que se encuentre un objeto tendrá diferente comportamiento. En este caso comentaremos sobre el comportamiento de una barca según su posición.

En el núcleo del vórtice el flujo se comporta de una manera parecida al de un sólido en rotación ya que hay una velocidad tangencial que provoca una rotación uniforme, y dicha velocidad tangencial disminuye linealmente con la distancia al núcleo. Por lo tanto, si la barca está en el núcleo rota sobre si misma ya que existe una vorticidad o rotación que hace que todo el fluido situado en el núcleo rote como si fuera una sola pieza.

En cambio, en la región exterior el flujo se comporta de manera irrotacional, es decir, la vorticidad es nula por lo tanto la barca en el exterior no estaría sometida a ningún tipo de rotación.