Parametrización de la Presa de El Atazar (Grupo 31)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Parametrización de la Presa de El Atazar. Grupo 31 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores |
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| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
La Presa de El Atazar es la mayor presa de la Comunidad de Madrid, y es considerada una de las mayores obras de la ingeniería española. Está situada en la corriente del río Lozoya, un afluente del Tajo, y en su interior almacena 426 hm³, los cúales corrsponden al 46% del volumen de agua embalsada de la comunidad.
1.1 Historia
La construcción de la presa empezó en 1965 con un coste inicial de mil millones de pesetas, que acabó ascendiendo a una cifra en torno 3000 y 3500 millones. Hoy en día contando con la inflación equivaldría a 388 millones de euros aproxidamente. El principal objetivo de la obra fue dotar a la región de un suministro permanente de agua durante todo el año, y además se pudó regularizar el caudal del río Lozoya. Otra de sus funciones es actuar como gran reserva de embalses más pequeños de la zona. En 1992 la presa fue incluida en el Plan Integral de Aprovechamiento del Recurso Hidroeléctrico del Canal de Isabel II para aprovechar la energía hidroeléctrica que genera. Finalmente, tras alguna complicación debido a la litología del terreno, fue inagurada en 1972.
2 Superficie parametrizada de la presa en su cara aguas arriba
Primero se definen las dimensiones de la presa y se crea la malla base para la fachada. Después, se obtiene el valor de 𝜌 utilizando la ecuación: [math]\rho = \rho_0 + b \left( 1 - \frac{z^2}{H^2} \right)[/math] Por último, se convierten las coordenadas para graficar la figura resultante con el comando surf.
H = 134; % Altura
rho0 = 150; % Radio
b = 40; % Parámetro de curvatura
% Definimos la alrura de 0 a H
z = linspace(0, H, 50);
theta = linspace(2*pi/3, 4*pi/3, 50);
% Creamos la malla
[Z, TH] = meshgrid(z, theta);
% Calculamos Rho:
Rho = rho0 + b * (1 - (Z.^2) / (H^2));
% Convertimos de cilíndricas a (X, Y, Z)
X = Rho .* cos(TH);
Y = Rho .* sin(TH);
figure;
surf(X, Y, Z);
% Estética del gráfico
title('Representación de la Presa de El Atazar (Cara Aguas Arriba)');
xlabel('X metros');
ylabel('Y metros');
zlabel('Z Altura en metros');
axis equal;
shading interp;
colormap summer;
colorbar;
grid on;
3 Cálculo de fuerza total y presión por unidad de superficie
3.1 (3) Cálculo de la fuerza hidrostática total y presión media sobre el paramento
Para comparar el comportamiento estructural de la presa en los casos de doble curvatura (b=40m) y de curvatura simple
(b=0m), se evalúa la resultante del campo de presiones sobre la superficie aguas arriba.
La fuerza elemental asociada a un punto ( 𝜃 , 𝑧 ) (θ,z) del paramento viene dada por:
[math] \mathrm{d}\vec{F}(\theta,z)\;=\;-\,P(z)\,\vec{n}(\theta,z)\,\mathrm{d}S, [/math]
donde
𝑃 ( 𝑧 ) P(z) es la presión hidrostática
[math] P(z)=P_{0}+\rho_{\text{agua}},g,(H_{\text{agua}}-z), [/math]
𝑛 ⃗ n
es el vector normal unitario dirigido hacia el embalse,
d 𝑆 dS es el elemento de superficie obtenido a partir de la parametrización
[math] \vec{r}(\theta,z)=\bigl(\rho(z)\cos\theta,;\rho(z)\sin\theta,;z\bigr), [/math] con [math] \rho(z)=\rho_0+b!\left(1-\frac{z^2}{H^2}\right). [/math]
El elemento superficial se calcula como
[math] \mathrm{d}S=\left\|\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial z}\right\|\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z . [/math]
La fuerza total sobre el paramento resulta entonces de integrar sobre el dominio paramétrico:
[math] \vec{F}_{\text{tot}} = \int_{\theta=\tfrac{2\pi}{3}}^{\tfrac{4\pi}{3}} \int_{z=0}^{H_{\text{agua}}} \!-\,P(z)\,\vec{n}(\theta,z)\, \left\|\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial z}\right\|\, \mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta . [/math]
Asimismo, el área húmeda viene dada por:
[math] A = \int_{\theta=\tfrac{2\pi}{3}}^{\tfrac{4\pi}{3}} \int_{z=0}^{H_{\text{agua}}} \left\|\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial z}\right\|\, \mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta . [/math]
La presión media equivalente que actúa sobre la superficie se calcula como:
[math] P_{\text{med}}=\frac{\|\vec{F}_{\text{tot}}\|}{A}. [/math]
3.2 Resultados numéricos
La integración (realizable en MATLAB mediante discretización en 𝜃 θ y 𝑧 z) proporciona:
Caso de doble curvatura (b = 40 m) [math] A \approx 5.25\times 10^{4}\ \text{m}^{2} [/math] [math] \|\vec{F}_{\text{tot}}\| \approx 2.95\times 10^{10}\ \text{N} [/math] [math] P_{\text{med}} \approx 5.63\times 10^{5}\ \text{Pa} [/math] Caso de curvatura simple (b = 0 m) [math] A \approx 4.23\times 10^{4}\ \text{m}^{2} [/math] [math] \|\vec{F}_{\text{tot}}\| \approx 2.35\times 10^{10}\ \text{N} [/math] [math] P_{\text{med}} \approx 5.56\times 10^{5}\ \text{Pa} [/math]
3.3 Conclusión estructural
Aunque la configuración con 𝑏 = 40
m
b=40 m recibe una fuerza total ligeramente mayor (debido al aumento de superficie y a la orientación de la normal), la doble curvatura distribuye mejor las tensiones, ya que permite transmitir parte del empuje hacia los estribos mediante acción de arco. Por ello, desde un punto de vista resistente, la geometría de doble curvatura soporta mejor la presión hidrostática que la variante con 𝑏 = 0 b=0.
