Onda Transversal plana (G.53)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Onda Transversal plana (G.53).
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Carmen Fernández, Genoveva Moreno, Victoria González, Cayetana Ortiz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

4 Campo de vectores desplazamiento a través de la placa

A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

[math] \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}[/math]  y  [math]\vec{b}=\pi\vec{j}[/math], el desplazamiento viene dado por la expresión: [math]\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}[/math]

Esto implica que la componente horizontal es: [math] u_x=0.1cos({Π}y)[/math]   mientras que la componente horizontal es nula: [math]u_y=0[/math]

A continuación se representa esta campo vectorial sobre el mallado del sólido:

Imagen del campo de desplazamientos

Apartado 4: mallado campo de vectores u(x,y)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;

[X,Y] = meshgrid(x,y);      % mismo mallado que antes

% u(x,y) = (1/10) cos(pi*y) i
ux = 0.1 * cos(pi * Y);     % componente en x
uy = zeros(size(Y));        % componente en y
figure;

quiver(X, Y, ux, uy);       % dibuja el campo de vectores
axis equal;
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');

title('Campo de desplazamientos u(x,y) = (1/10) cos(\pi y) \bfi');
grid on;

5 Placa desplazada

En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento:

[math]\vec{u}(x,y) = (0.1\cos(\pi y),\, 0).[/math]

En el primer subplot aparece la placa original, y en el segundo la placa desplazada. Como el desplazamiento solo actúa en la dirección horizontal y depende de y, cada punto se mueve lateralmente una cantidad distinta. Esto permite visualizar de forma directa cómo la onda transversal deforma la placa de manera no uniforme.

Placa antes y después del desplazamiento.

Apartado 5: Placa antes y después del desplazamiento

% Mallado (usa el mismo que en el apartado 4)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));

% Puntos desplazados
X_new = X + ux;
Y_new = Y + uy;

% Figura con dos subplots
figure;

% Subplot 1: placa original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa original');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;

% Subplot 2: placa desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa desplazada');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;

6 Divergencia del campo de desplazamiento

En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

[math]\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)[/math]

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como [math]u_x[/math] solo depende de [math]y[/math], su derivada respecto de [math]x[/math] es cero, y puesto que [math]u_y=0[/math], también lo es su derivada respecto de [math]y[/math]. Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

[math]\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0[/math]

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

Divergencia del campo de desplazamientos (nula en todo el dominio)

Apartado 6: Divergencia de u

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y);   % componente horizontal del desplazamiento
uy = zeros(size(Y));      % componente vertical = 0

% Cálculo de la divergencia: div(u) = d(ux)/dx + d(uy)/dy
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% Representación gráfica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);

6.1 Divergencia

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: [math]\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} [/math]

Donde el campo vectorial es: [math]\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} [/math]