La Catenaria (Grupo 7)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Catenaria (Grupo 7)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Dibujo de la curva

1.1 Descripción de la curva

Representación de la catenaria

La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math]γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))[/math], con [math] a = 3[/math].
La curva es simétrica respecto al eje [math]x = 0[/math]. debido a que [math]cosh(t)[/math] es par.
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola.
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que [math]cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})[/math]

1.2 Código y representación de la curva

Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:

clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;

2 Vectores aceleración y velocidad

2.1 Cálculo de los vectores

Representación de los vectores velocidad y aceleración

Siendo [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:
-> Su vector velocidad [math] γ'(t) [/math] será igual a:
[math] γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) [/math]
-> Su vector aceleración [math] γ''(t) [/math] será igual a:
[math] γ′′(t)=(0, \frac{1} / {} * cosh(t / a)) [/math]

2.2 Código y representación de los vectores

clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');

4 Vectores tangente y normal

4.1 Cálculo de vectores

Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:

- El vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]. En este caso: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
- El vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math], donde [math] \vec{b}(t) [/math] es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math]. De esta forma:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0 \end{vmatrix} \end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Interpretación geométrica

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva. Comparte con ella:

• el mismo punto,
• la misma dirección del vector tangente,
• y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder casi información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

6.2 Curvatura y radio de curvatura en [math]P=\gamma(-0.5)[/math]

Primero calculamos las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh(t/3),[/math]

[math]x(t) = 0,\qquad y(t) = \dfrac{1}{3}\cosh(t/3).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t) = \dfrac{|x'(t)y(t)-y'(t)x(t)|}{\big(x'(t)^2 + y'(t)^2\big)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo obtenemos

[math] \kappa(t) = \dfrac{\frac{1}{3}\cosh(t/3)}{\big(1+\sinh^2(t/3)\big)^{3/2}} = \dfrac{1}{3}\operatorname{sech}^2\left(\dfrac{t}{3}\right), [/math]

donde [math]\operatorname{sech}(u)=1/\cosh(u).[/math]

El radio de curvatura es

[math] R(t) = \dfrac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\dfrac{t}{3}\right). [/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math] R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\dfrac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\dfrac{1}{6}\right)\approx 3.08. [/math]

6.3 Centro de la circunferencia osculatriz

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math] P = \gamma(-0.5) = \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big) = \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)\approx(-0.50,\;3.04). [/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math] T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|} = \left(\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right)\right). [/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) es

[math] N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big) = \left(-\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right)\right). [/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math] Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t). [/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] esto da

[math] Q = P + R\,N(t_0) \approx (0.009,\;6.08). [/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

6.4 Representación gráfica y código

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2);
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
       'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');