La Catenaria (Grupo 7)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Catenaria (Grupo 7)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Dibujo de la curva

1.1 Descripción de la curva

Representación de la catenaria

La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math]γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))[/math], con [math] a = 3[/math].
La curva es simétrica respecto al eje [math]x = 0[/math]. debido a que [math]cosh(t)[/math] es par.
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola.
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que [math]cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})[/math]

1.2 Código y representación de la curva

Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:

clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;

4 Vectores tangente y normal

4.1 Cálculo de vectores

Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:

- Su vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]. En este caso: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
- Su vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math], donde [math] \vec{b}(t) [/math] es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math]. De esta forma:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0 \end{vmatrix} \end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]

6 Circunferencia osculatriz

6.1 6.1 Interpretación geométrica

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con la curva:

• el mismo punto,
• la misma dirección del vector tangente,
• y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos aproximar la catenaria mediante un arco de circunferencia, lo que permite simplificar ciertos cálculos geométricos o de esfuerzos en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de interés es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

6.2 6.2 Curvatura y radio de curvatura en [math]P=\gamma(-0.5)[/math]

Primero calculamos las derivadas de la catenaria:

[math]x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh(t/3),[/math]

[math]x(t) = 0,\qquad y(t) = \frac{1}{3}\cosh(t/3).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t) = (x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t) = \dfrac{|x'(t)y(t) - y'(t)x(t)|}{\big(x'(t)^2 + y'(t)^2\big)^{3/2}}.[/math]

En nuestro caso resulta

[math]\kappa(t) = \dfrac{\frac{1}{3}\cosh(t/3)}{\big(1+\sinh^2(t/3)\big)^{3/2}} = \dfrac{1}{3}\operatorname{sech}^2\left(\dfrac{t}{3}\right),[/math]

donde [math]\operatorname{sech}(u)=1/\cosh(u).[/math]

El radio de curvatura es

[math]R(t) = \dfrac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\dfrac{t}{3}\right).[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] obtenemos

[math]R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\dfrac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\dfrac{1}{6}\right)\approx 3.08.[/math]

6.3 6.3 Centro de la circunferencia osculatriz

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]P = \gamma(-0.5) = \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big) = \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)\approx(-0.50,\;3.04).[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|} = \left(\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) es

[math]N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big) = \left(-\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto P en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math]Q = P + R\,N(t_0) \approx (0.009,\;6.08).[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en el punto [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

6.4 6.4 Representación gráfica y código

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

A = 3;

% Malla de puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2);
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
       'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');