El vórtice de Rankine (g.34)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | El Vórtice de Rankine (Grupo 34) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Miguel Gómez-Hidalgo Rivas Haytam Imhah Chatoual Darío Pérez Pablo Ramírez Serrano Jorge Machín Menés |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
El Vórtice de Rankine es un modelo matemático, ideado por William John Macquorn Rankine, ingeniero y físico escocés. Su diseño estuvo sujeto a la imperiosa necesidad de explicar de manera simplificada los fluidos rotatorios. Este modelo, aplicado a la vida cotidiana permite la descripción de la estructura básica de fenómenos meteorológicos como tornados y huracanes o en ciertos casos puede explicar ciertos aspectos de la ingeniería como la aerodinámica, ayudando a la creación de sistemas como las turbinas o ventiladores. En este trabajo, haremos algunos cálculos interesantes para la comprensión de este modelo. Además, utilizaremos códigos de Matlab para la representación de funciones y campos vectoriales de manera gráfica.
2 Circulación
Dada la función que representa la velocidad del vórtice [math]\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\gt R,\end{array} \right.\qquad [/math], para la situación [math]\rho = \text{R}[/math], tenemos la expresión [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho \;=\; \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math]. Según los datos que nos proporcionan [math](R=250 m; v_{\theta}= 90 m/s )[/math], nos daría un resultado de: [math]\Gamma = 1.4137 \times 10^{5} \ \mathrm{m^2/s} [/math]
R = 250; % r del núcleo (m)
vR = 90; % v tang en rho=R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR;
% Dom
[x, y] = meshgrid(-800:40:800, -800:40:800);
rho = sqrt(x.^2 + y.^2); % dist rad
theta = atan2(y, x); % áng polar
% Campo de v_theta
vtheta = zeros(size(rho));
% Región interna flujo como sol
inside = rho <= R & rho ~= 0;
vtheta(inside) = (Gamma./(2*pi*R^2)) .* rho(inside);
% Región externa irrotacional
outside = rho > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*rho(outside));
%%Componentes cartesianas de la velocidad
% Direcciones tangenciales
u = -vtheta .* sin(theta); % componente en x
v = vtheta .* cos(theta); % componente en y
% Gráfica quiver
figure('Color','w','Position',[200 200 700 550])
hold on
% Parte interna del vórtice (color azul)
quiver(x(inside), y(inside), u(inside), v(inside), ...
'Color',[0 0.3 1], 'LineWidth',1.2)
% Parte externa del vórtice (color rojo)
quiver(x(outside), y(outside), u(outside), v(outside), ...
'Color',[1 0 0], 'LineWidth',1.2)
% Círculo marcando el ojo
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k--', 'LineWidth',1.4)
axis equal
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine (plano horizontal)')
legend('Interior del ojo','Exterior del vórtice','Radio del núcleo')
grid on
3 Representación de [math]\vec{v}[/math]
Como podemos observar por la expresión del campo de la velocidad, [math]\mathbf{v} = v_\theta(\rho) \, \mathbf{e}_\theta[/math]
