El Vortice de Rankine (Grupo 11)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El Vortice de Rankine. Grupo 11
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Pelayo Rodriguez Maestre Álvaro Calvente Soler David Pérez Romero François Botet de Lacaze
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

2 Formulación matemática del vórtice de Rankine

El vórtice de Rankine es un modelo muy simple que se usa para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea es que un vórtice real no gira igual en todas partes: cerca del centro el movimiento suele ser suave, y más lejos el giro parece más “libre”. Por eso el modelo usa dos expresiones diferentes para la velocidad en función del radio.

Fórmula del vórtice de Rankine

La velocidad tangencial [math]v_\theta(r)[/math] viene dada por una función definida por tramos:

[math] v_\theta(r)= \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r \gt r_c \end{cases} [/math]

donde [math]r[/math] es la distancia al centro del vórtice y [math]r_c[/math] es el radio del núcleo.

Región interior

En el núcleo ([math]r \le r_c[/math]), el modelo supone un movimiento de rotación sólida. La velocidad tangencial puede escribirse como

[math]v_\theta(r) = \Omega r[/math]

donde [math]\Omega[/math] es la velocidad angular. Para asegurar que la circulación sea igual a [math]\Gamma[/math] en [math]r = r_c[/math], se impone

[math] \Gamma = v_\theta(r_c)\, (2\pi r_c) = (\Omega r_c)(2\pi r_c), [/math]

de donde se obtiene

[math]\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}[/math]

y por tanto

[math]v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2} \, r[/math]

Región exterior

Para [math]r \gt r_c[/math], la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad tangencial es

[math]\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)[/math]

lo que conduce a

[math]v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}[/math]

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y describe la disminución de la velocidad con el radio.

3 Determinación de la circulación y visualizacion del flujo

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada) clear; clc; close all; % Parámetros EF4 R = 250; vR = 90; Gamma = 2*pi*R*vR; fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma); % ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL ===== vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ... (rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho)); %% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho) rho = linspace(0,1000,1000); vtheta = vtheta_fun(rho); figure; hold on; grid on; plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2); plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2); yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3); xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)'); title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4'); leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast'); set(leg1,'FontSize',7); %% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800] L = 800; N = 25; [x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N)); rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6); v_xy = vtheta_fun(rho_xy); Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe); Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe); mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2 mask_in = mask & (rho_xy <= R); mask_out = mask & (rho_xy > R); figure; hold on; grid on; axis equal; axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800] quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r'); quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b'); theta = linspace(0,2*pi,200); plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3); xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)'); leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast'); set(leg2,'FontSize',7);

5 Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine % Parámetros del tornado EF4 R = 250; % radio del núcleo (m) vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s) Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s) % Dominio horizontal L = 800; % extensión máxima (m) N = 200; % puntos por dirección [x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N)); rho = sqrt(x.^2 + y.^2); % Rotacional analítico (solo componente vertical): % (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional %% FIGURA Rotacional figure; imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz); set(gca,'YDir','normal'); axis equal tight; colorbar; xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); title('Rotacional del campo de velocidad'); hold on; theta = linspace(0,2*pi,300); plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);

7 Distribución vertical de la presión en el vórtice

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar) clear; clc; close all; % Parámetros R=250; vR=90; z0=2800; P0=920e2; Pinf=1013e2; rho=1.225; g=9.81; Gamma=2*pi*R*vR; v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r)); % Mallado y presión [x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200)); p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ... (x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z); % Gráfica figure; [~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20); set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal'); xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)'); title('Campo de presión sobre el sección vertical'); c = colorbar; c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ axis tight;

7.2 Datos y constantes empleadas

Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

• Radio del núcleo: [math]R = 250\ \mathrm{m}[/math]
• Velocidad tangencial en [math]r = R[/math]: [math]v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}[/math]
• Presión mínima central: [math]P_0 = 920\ \mathrm{mbar}[/math]
• Altura del vórtice: [math]z_0 = 2800\ \mathrm{m}[/math]
• Densidad del aire: [math]\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}[/math]
• Gravedad: [math]g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}[/math]

Circulación: [math]\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}[/math]

Rotación sólida interior: [math]\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}[/math]

---

7.3 Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

[math] v_\theta(r)= \begin{cases} \Omega r, & r\le R,\\ \dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r\gtR. \end{cases} [/math]

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

[math] p(\rho,z)= \begin{cases} P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt] P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

[math] P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R) [/math]

Cálculo numérico: [math]\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}[/math]

Por tanto: [math]P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}[/math]

El término hidrostático hasta [math]z_0[/math] vale: [math]\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}[/math]

Interpretación de la figura: El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta [math]P_\infty[/math]. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

7.3.1 Referencias del apartado

• Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
• Los valores numéricos ([math]R[/math], [math]v_\theta(R)[/math], [math]P_0[/math], [math]z_0[/math]) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
• La expresión hidrostática [math]\rho g z[/math] aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
• El cálculo de [math]P_\infty[/math] se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

---

7.4 (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo

La caída pedida es:

[math] \Delta p = p(R^+,0) - p(0,0) [/math]

Dado que: [math] p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) [/math]

y [math] P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R) [/math]

Sustituyendo:

[math] p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) [/math]

Entonces:

[math] \Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar} [/math]

Comparación con: [math]P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}[/math]

Conclusión: Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y [math]R[/math], y entre [math]R[/math] y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

7.4.1 Referencias del apartado (9)

• La expresión de continuidad para obtener [math]P_\infty[/math] está en el desarrollo matemático del enunciado.
• La fórmula para [math]p(R^+)[/math] procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
• Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
• La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

---

7.5 (10) Diferencia de presión estándar [math]\Delta P = P_\infty - P_0[/math]

Modelo teórico:

[math]\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}[/math]

Datos atmosféricos estándar:

[math]\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}[/math]

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

7.5.1 ¿Es aceptable la discrepancia?

Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

• no considera variación de densidad con la altura,
• no incluye fricción ni capa límite,
• no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
• supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

7.5.2 Referencias del apartado (10)

• Los valores de [math]P_0[/math] y [math]P_\infty[/math] provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
• La presión atmosférica estándar ([math]1013.25\ \mathrm{mbar}[/math]) es la que aparece indicada en el texto del problema.
• La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

8 Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4 clear; clc; close all; % Parámetros básicos R_core = 250; % radio núcleo [m] v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s] z_top = 2800; % altura máx [m] P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa] P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3] g = 9.81; % gravedad [m/s^2] % Vórtice de Rankine (velocidad tangencial) Gamma = 2*pi*R_core*v_max; vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ... (r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r)); % Mallado (rho,z) rho_vec = linspace(0,1000,200); z_vec = linspace(0,z_top,120); [RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec); V = vtheta(RH); % Presión p(rho,z) p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ... (RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ); p_mbar = p/100; % Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas dr = rho_vec(2) - rho_vec(1); dz = z_vec(2) - z_vec(1);

dp_drho = zeros(size(p)); 
dp_dz   = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1)       = (p(:,2)     - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end)     = (p(:,end)   - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:)       = (p(2,:)     - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:)     = (p(end,:)   - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho;   % radial
W = -dp_dz;     % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q  = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q  = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q  = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF;  W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);

8.1 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo

8.1.1 El gradiente de presión y su representación

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el gradiente de presión es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

Fuerza por gradiente de presión → –∇p

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el gradiente de presión horizontal domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen: El gradiente de presión apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

8.1.2 Las direcciones predominantes del campo de fuerzas

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

Fuerza debida al gradiente de presión

Fuerza centrífuga (importante en el marco en rotación)

Fuerza de Coriolis (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la fuerza por gradiente de presión, con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

Horizontales hacia el eje del vórtice

Verticales ascendentes, producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

8.1.3 Las superficies isobáricas y su interpretación física

para graficas

Código MATLAB

Gráfica obtenida

%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine) clear; clc; close all; % Parámetros del tornado EF4 R_core = 250; % radio del núcleo [m] v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s] z_top = 2800; % altura máxima [m] P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox) P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar) rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3] g = 9.81; % gravedad [m/s^2] % Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine) Gamma = 2*pi*R_core*v_max; vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ... (r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r)); % Mallado en (rho, z) rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m] z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m] [RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec); V = vtheta(RH); % Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ... (RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ); p_mbar = p/100; % Niveles isobáricos solicitados niveles = [950 970 990 1000]; %% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas figure; % Fondo continuo de presión contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none'); colormap turbo; cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)'; hold on; % Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas) [C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2); clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold'); % Frontera del núcleo (rho = R_core) plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8); text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ... 'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold'); set(gca,'YDir','normal'); xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)'); title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4'); grid on; axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

950 mbar

970 mbar

990 mbar

1000 mbar

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un gradiente muy intenso, asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un núcleo de baja presión, responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

8.1.4 Referencias

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). Atmospheric Science: An Introductory Survey. Usado para: descripción física del gradiente de presión, dinámica del flujo atmosférico y comportamiento del viento en sistemas rotatorios. https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms. Usado para: estructura interna de tornados, interpretación de isóbaras y gradientes intensos en vórtices. https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). Atmospheric Convection. Usado para: campo de fuerzas en vórtices convectivos y explicación del transporte vertical asociado a núcleos de baja presión. https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ