Mallado Arco 1 (grupo 59)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Arco1. Grupo 59
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Guillermo Pineros Quero Ignacio Sueiras Oviedo Francisco Yusep Saiz Cebrián Álvaro Villar Rosado Javier Ruiz Sáenz de Jubera
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Mallado del arco

Archivo:Untitled4.png

Representación del mallado

Mi figura generada en MATLAB

% Mallado del arco alineado

% Elegimos divisiones que garanticen que:
% θ = 0, pi/2, pi están incluidos 
% r incluye exactamente 1 y 2    

theta = linspace(0, pi, 20);   % mallado moderado, incluye 0, pi/2 y pi
r = linspace(1, 2, 15);        % radios exactos 1 y 2

[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

figure;
hold on;

col = [0.3 0.6 1];  % azul clarito

% Mallado tipo red (más grueso) 
plot(X,  Y, 'Color', col, 'LineWidth', 1.1);   % líneas en theta
plot(X', Y', 'Color', col, 'LineWidth', 1.1);  % líneas en r

% Contornos superior interior y exterior 
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);

% Bases 
plot([-1 -2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2);  % base izquierda
plot([ 1  2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2);  % base derecha


% Ajustes
axis equal
grid on
title('Mallado del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold off;

2 Temperatura en el arco

% Mallado del arco
theta = linspace(0, pi, 200);   % más denso para curva suave
r = linspace(1, 2, 200);        % radio interior 1, exterior 2
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

% Funcion temperatura
T = (X - Y).^2;

% Representación 2D
figure;
pcolor(X, Y, T);     % representación 2D en colores
shading interp       % suavizado del color
colormap(jet)
colorbar;

title('Temperatura T(x,y) = (x - y)^2 sobre el arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
axis equal            % mantiene proporciones reales
== desplazamiento ==
%% TRABAJO M (ARCO)
clc; clear; close all;

%% Pregunta 3
% Dominio 
rho_min = 1;  rho_max = 2;
th_min = 0;   th_max = pi;

[Rho, Theta] = meshgrid(linspace(rho_min, rho_max, 100), ...
                        linspace(th_min, th_max, 200));

% Convertimos a Cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);

%% 2. Definición de Temperatura y Gradiente
% Temperatura T = (x - y)^2
T_val = (X - Y).^2;

% Cálculo del gradiente
Grad_X = 2 .* (X - Y);
Grad_Y = -2 .* (X - Y);

% Representación gráfica
figure('Name', 'Trabajo M - Pregunta 3 (Estilo Suave)', 'Color', 'w');
hold on;

contourf(X, Y, T_val, 50, 'LineStyle', 'none');

% Creamos la gráfica
N = 256;
r = linspace(0.2, 1, N)'; 
g = linspace(0.5, 1, N)';
b = linspace(1, 0, N)';   
mi_mapa = [r, g, b];      % Matriz de colores

colormap(mi_mapa);
c = colorbar;
c.Label.String = 'Temperatura T = (x-y)^2';

% Cantida de flechas
step_r = 8;  % Salta cada 8 puntos en el radio
step_t = 12; % Salta cada 12 puntos en el ángulo

idx_r = 1:step_r:size(X,1);
idx_t = 1:step_t:size(X,2);

% Dibujo flechas
quiver(X(idx_r, idx_t), Y(idx_r, idx_t), ...
       Grad_X(idx_r, idx_t), Grad_Y(idx_r, idx_t), ...
       'k', ...                 % Color negro flechas
       'LineWidth', 1.0, ...    % Grosor flechas
       'AutoScaleFactor', 0.8); % Tamaño flechas

axis equal;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]); % Márgenes 
title('Gradiente sobre T');
xlabel('x'); ylabel('y');
box on; 

hold off;

3 Gradiente de temperatura

3.1 Cálculo del gradiente

El gradiente de una función escalar (∇f) es un campo vectorial cuyas componentes son las derivadas parciales de la función. Geométricamente, el vector gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y es ortogonal a sus curvas de nivel.

La fórmula para calcularlo es:

∇f(x,y) = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )

Como la temperatura viene dada por la siguiente fórmula:

T(x, y) = (x - y)²

El gradiente de temperatura será:

∇T = (2(x - y), -2(x - y))

3.2 Representación gráfica del gradiente

Gradiente de temperatura

%% Representación del gradiente
clc; clear; close all;

% Dominio 
rho_min = 1;  rho_max = 2;
th_min = 0;   th_max = pi;

[Rho, Theta] = meshgrid(linspace(rho_min, rho_max, 100), ...
                        linspace(th_min, th_max, 200));

% Convertimos a Cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);

%% 2. Definición de Temperatura y Gradiente
% Temperatura T = (x - y)^2
T_val = (X - Y).^2;

% Cálculo del gradiente
Grad_X = 2 .* (X - Y);
Grad_Y = -2 .* (X - Y);

% Representación gráfica
figure('Name', 'Trabajo M - Pregunta 3 (Estilo Suave)', 'Color', 'w');
hold on;

contourf(X, Y, T_val, 50, 'LineStyle', 'none');

% Creamos la gráfica
N = 256;
r = linspace(0.2, 1, N)'; 
g = linspace(0.5, 1, N)';
b = linspace(1, 0, N)';   
mi_mapa = [r, g, b];      % Matriz de colores

colormap(mi_mapa);
c = colorbar;
c.Label.String = 'Temperatura T = (x-y)^2';

% Cantida de flechas
step_r = 8;  % Salta cada 8 puntos en el radio
step_t = 12; % Salta cada 12 puntos en el ángulo

idx_r = 1:step_r:size(X,1);
idx_t = 1:step_t:size(X,2);

% Dibujo flechas
quiver(X(idx_r, idx_t), Y(idx_r, idx_t), ...
       Grad_X(idx_r, idx_t), Grad_Y(idx_r, idx_t), ...
       'k', ...                 % Color negro flechas
       'LineWidth', 1.0, ...    % Grosor flechas
       'AutoScaleFactor', 0.8); % Tamaño flechas

axis equal;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]); % Márgenes 
title('Gradiente sobre T');
xlabel('x'); ylabel('y');

box on; 
hold off;

4 Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento

4.1 Código

Gráfica 1

Gráfica 2

%% Visualización de Deformación (Azul vs Rojo)
clear; clc; close all;
% --- 1. DATOS Y CÁLCULOS  ---
rho_vec = 1:0.1:2;

% EL CAMBIO ESTÁ AQUÍ:

theta_vec = [0:0.1:pi, pi]; 

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posición Inicial
X_ini = R .* cos(Th);
Y_ini = R .* sin(Th);

% Desplazamiento u (Trabajo M)
u_rho   = zeros(size(R));
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

UX = u_rho .* cos(Th) - u_theta .* sin(Th);
UY = u_rho .* sin(Th) + u_theta .* cos(Th);

% Posición Final
X_fin = X_ini + UX;
Y_fin = Y_ini + UY;

% ---  GENERACIÓN DE LAS GRÁFICAS ---

% GRÁFICA 1: Posición Inicial
figure(1); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('1. Posición Inicial (Sin deformar)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2); 
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 2: Posición Final
figure(2); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('2. Posición Final (Deformada)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 3: Superposición (AZUL vs ROJO)
figure(3); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('3. Comparativa: Inicial vs Final');
xlabel('x'); ylabel('y');

% A) Inicial: AZUL
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);

% B) Final: ROJO
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1.2);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1.2);


% --- Función para bordes ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
    plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
    plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
    plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
    plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end

5 Tensiones tangenciales

Tensiones tangenciales

%% TENSIONES TANGENCIALES
clear; clc; close all;

% --- 1. GEOMETRÍA ---
rho_vec = 1:0.01:2;
theta_vec = 0:0.01:pi;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% --- 2. CÁLCULO DE LA TENSIÓN ---
Tau = (1/5) * (2*R.^2 - R) .* sin(Th);
Tau_Mag = abs(Tau);

% --- 3. VISUALIZACIÓN ---
figure(9); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Tensión tangencial');
xlabel('x'); ylabel('y');

contourf(X, Y, Tau_Mag, 50, 'LineStyle', 'none');
c = colorbar;
ylabel(c,'Esfuerzo de Corte (Pa)');

% --- 4. Colormap amplio AZUL → ROJO (256 tonos) ---
n = 256;
azul = [0 0 1];       % azul puro
rojo = [1 0 0];       % rojo puro
cmap = [linspace(azul(1), rojo(1), n)', ...
        linspace(azul(2), rojo(2), n)', ...
        linspace(azul(3), rojo(3), n)'];
colormap(cmap);

% --- 5. Bordes exteriores en negro ---
t_border = 0:0.001:pi;
plot(2*cos(t_border),2*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot(1*cos(t_border),1*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot([-2,-1],[0,0],'k','LineWidth',2);
plot([1,2],[0,0],'k','LineWidth',2);

% --- 6. Punto de máxima tensión ---
max_val = max(Tau_Mag(:));
[fr, fc] = find(Tau_Mag == max_val, 1);
plot(X(fr,fc),Y(fr,fc),'wx','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
text(X(fr,fc),Y(fr,fc)+0.1,'Máx','Color','w','FontWeight','bold');

axis([-2.2 2.2 0 2.2]);
grid off;
hold off;

6 apartado 11

La masa se calcula con la siguiente integral: M = ∫∫ d(ρ, θ) dA

El dominio es [1,2]x[0,pi] y por tanto los límites de integración serán:

Límete de rho: 1 ≤ ρ ≤ 2

Límite de theta: 0 ≤ θ ≤ π

El diferencial de área (Jacobiano) es: dA = ρ dρ dθ

La densidad viene dada por: d(ρ, θ) = 1 + e^(ρ² cos θ)

Por último la masa se calculará de la siguiente manera:

M = ∫(de 0 a π) ∫(de 1 a 2) [1 + e^(ρ² cos θ)] · ρ dρ dθ = 26.26 u²

7 Interpretación del trabajo

En el Trabajo K se modela una onda transversal en una placa rectangular mediante el campo de desplazamientos:

[math]\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}\cos(\vec{b}\cdot\vec{r}_0 - c t)[/math] con:

[math]\vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}[/math] [math]\vec{b}=\pi\vec{j}[/math] [math]t=0[/math]

Esto se puede interpretar como una onda de corte (onda S) que se propaga en un medio elástico, como la corteza terrestre durante un terremoto. Las ondas S (secundarias o de corte) son ondas transversales, en las que las partículas del material vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. En este caso, la dirección de propagación es la del vector: [math]\vec{b}=\pi\vec{j}[/math](eje 𝑦 y) y la vibración es en la dirección: [math]\vec{i}[/math](eje 𝑥 x), lo cual es típico de ondas S con polarización horizontal (onda SH). Aplicación al Trabajo M (arco entre radios 1 y 2) En el Trabajo M, el dominio es un sector de arco en coordenadas polares(𝜌,𝜃)(ρ,θ), con:[math]\rho\in[1,2][/math] y el campo de desplazamientos es: [math]\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_\theta[/math]

Este campo representa un desplazamiento puramente tangencial:[math]\vec{e}_\theta[/math] que también corresponde a una onda de corte pero en geometría curvilínea. En sismología, las ondas S pueden viajar a lo largo de estructuras curvas en la corteza, como capas geológicas curvadas o interfaces entre materiales. El factor:[math](\rho-1)\rho^{2}\sin\theta[/math] indica que el desplazamiento es máximo en la parte exterior del arco: [math]\rho = 2[/math] y varía sinusoidalmente con:[math]\theta[/math] lo que podría modelar una onda estacionaria o forzada en una placa curvada. Relación con la temperatura En ambos trabajos se incluye un campo de temperatura: [math]T(x,y)=(x-y)^2[/math] que en el Trabajo M debe expresarse en coordenadas polares:[math]x=\rho\cos\theta[/math] [math]y=\rho\sin\theta[/math] Sustituyendo: [math]T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2[/math] Esta temperatura podría representar gradientes térmicos en la corteza debidos a fuentes geotérmicas, que afectan a las propiedades elásticas del medio y, por tanto, a la propagación de ondas sísmicas.

Conclusión

El Trabajo M puede interpretarse como el estudio de ondas de corte (S) en una región curvilínea de la corteza terrestre, como un arco de falla o una capa geológica curvada, donde los desplazamientos son transversales a la dirección radial. La inclusión del campo de temperatura:[math]T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2[/math] permite analizar cómo los gradientes térmicos influyen en la deformación y propagación de ondas en estructuras geológicas reales, algo relevante en sismología y geofísica.