Modelos de mezclas(Grupo 15)

Dos pantanos A y B con 100 [math]Hm^3/dia[/math] de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B. El pantano A recive 3 [math]Hm^3/dia[/math] de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 [math]Hm^3/dia[/math]. Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 [math]Hm^3/dia[/math] mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 [math]Hm^3/dia[/math]. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante. Suponemos las siguientes hipotesis:

• El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
• Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
• La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

1 PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES

Llamamos [math]X_A(t)[/math] a la cantidad de contaminante del lago A y [math]X_B(t)[/math] a la cantidad de contaminante del lago B. Definimos la variación de contaminante en un lago como:

[math]X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)[/math]

Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:

[math]C(t)={X(t)\over vol(t)}[/math]

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones: \begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que [math]X_A(0)=20[/math] nos queda el siguiente problema de Cauchy:

[math]\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}[/math]

[math]\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}[/math]

• La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene [math]X_A[/math] y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene [math]X_B[/math] :

[math] X_A(t)=20e^{-3t/100}[/math]

[math] X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})[/math]

• Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 [math]Hm^3/dia[/math] a B, reciviendo 1.5 [math]Hm^3/dia[/math] de agua limpia de rios.

El sistema pasaria a depender de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 [math] Hm^3 [/math], tampoco sabemos lo que desaloja C, con lo cual, si recibe 6 y desaloja 1.5, su volumen irá creciendo indefinidamente, en base a esto [math]VolC(t)=100+(6-1.5)t[/math]. Con esto planteamos el sistema, pero ahora VolB va decayendo con el tiempo, pues pierde 6 [math] Hm^3/dia [/math], con esa interpretación [math] VolB(t)=100-6t [/math] y por tanto pasaría a ser un sistema dependiente de t:

[math] \left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right. [/math]

2 SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 [math]Hm^3/dia[/math] de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos. El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada. Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

[math] X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B [/math]

[math] X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B [/math]

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:

[math] \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} [/math]

[math] \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} [/math]

Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

[math] \begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}[/math]

• Las soluciones son:

[math] X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] [/math]

[math] X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)[/math]

3 RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

PRIMER SISTEMA

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
    x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler 
    y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n); 
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')

SEGUNDO SISTEMA

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format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
    x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler 
    y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n); 
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')

Gráficamente, las soluciones son:

centro

centro

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

• La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es 20 dias y para la tercera parte es 10 dias.