Modelo Predador-Presa. Dinámica de poblaciones (Grupo 4)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título	Modelo predador-presa. Dinámica de poblaciones. Grupo 4
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2013-14
Autores	Sandra Carrillo del Cura 81, Sergio Castillo Herrero 85, Andrea García Prieto 171, Patricia González Peinado 198, Adrián Salas Calvo 385
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Planteamiento e interpretación

Se conoce como modelo de Volterra-Lotka el modelo matemático que describe la lucha constante por la supervivencia entre dos especies que viven en un mismo hábitat siendo una de ellas el alimento de la otra. Se sabe que la especie predadora se extinguiría si no dispusiera de la presa y que a su vez las presas crecerían (exponencialmente) sin la presencia de los predadores.

Asumiendo las siguientes hipótesis:

• Las tres poblaciones son homogéneas

• Hay una cantidad suficiente de comida disponible para la alimentación de las poblaciones de las presas [math]x_1(t)[/math] y [math]x_2(t)[/math], con lo cual sus respectivas tasas de natalidad siguen una ley malthusiana o exponencial:

[math]A_1x_1[/math]

[math]B_1x_2[/math]

Siendo [math]A_1[/math] y [math]B_1[/math] constantes posistivas

• La alimentación de la población de predadores [math]x_3(t)[/math] depende completamente de las presas, por lo que su tasa de natalidad depende de las iteraciones con ellas:

[math]C_2 x_1 x_3 + C_3 x_2 x_3[/math]

Siendo [math]C_2[/math] y [math]C_3[/math] constantes positivas

• La tasa de mortalidad de las poblaciones de presas dependerán de las iteraciones presa-predador:

[math]A_2 x_1 x_3[/math]

[math]B_2 x_2 x_3[/math]

Siendo [math]A_2[/math] y [math]B_2[/math] constantes positivas

• Ya que sin alimentación la población iría desapareciendo, la tasa de mortalidad de los predadores será:

[math]C_1 x_3[/math]

Siendo [math]C_1[/math] una constante positiva

Este modelo explica la evolución conjunta de las especies mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

[math] \left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_3\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+C_3x_2x_3\\ x_1(0)=p_{0} ; x_2(0)=q_{0} ; x_3(0)=d_{0}\end{matrix}\right. [/math]

Siendo [math]t\gt0[/math]