Circuitos RL (grupo B)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Circuitos RL. Grupo 2-B
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2013-14
Autores	Diego Solano López,Lucia López Sánchez,Adela González Barbado,Araceli Martín Candilejo,Ignacio Díaz Caneja Camblor,Alberto Fernández Pérez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

 [math]i(t)={V(t)\over R}[/math]

• En un inductor L la Ley de Faraday dice:

[math] V(t)=L\cdot i'(t)[/math]

Las leyes de Kirchhoff establecen el comportamiento de los circuitos:

1. Ley de corriente: en cada nudo la suma de corrientes que entra coincide con la suma de corrientes que sale.
2. Ley de tensiones: en cada ciclo cerrado, la suma de las diferencias de potencial eléctrico es nula.

1 Ley de Kirchhoff de voltaje

1.1 Ecuación diferencial-Resolución y representación analítica.

Basándonos en la Ley de Kirchhoff de voltaje sobre el circuito que observamos en la imagen, podemos trabajar con la siguiente ecuación diferencial.

[math] i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 [/math]

Al suponer que en el instante t=0 el circuito está abierto, podemos establecer para el problema de Cauchy el valor inicial [math] i_0(t)=0 [/math]. Considerando que la alimentación posee un voltaje constante V(t)=20V, L=0.2 y R=5Ω, llegamos al problema:

                             [math]\left\{\begin{matrix}\ i'(t)+{25}i(t)-{100}=0 \\y(0)=0\end{matrix}\right.[/math]

La resolución de éste mediante (...) nos da:

[math] i(t)=4+4e^{-25t} [/math]

Podemos ver en la gráfica de la función que la intensidad puede llegar a ser prácticamente constante.

fplot('4-4*exp(-25*t)',[0,1,0,5]);
xlabel('Tiempo')
ylabel('Intensidad(t)')

1.2 Método de Euler.

%Definimos las condiciones iniciales
clear all
t0=0;
tN=1;
%Establecemos un paso h=0.01
h=0.01;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
%Resolvemos la ecuacion
ii=0;
i(1)=ii;
for n=1:N;
  ii=ii+h*(100-25*ii);
  i(n+1)=ii;
end
figure(1)
plot(t,i,'-g','linewidth',2);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad(t)');
axis([0,1,-5,5])
%Calculo error
r=4-4*exp(-25*t);
error=abs(r-i);
figure(2)
plot(t,error,'-r','linewidth',2)

Podemos ver que con una paso de discretización pequeño la aproximación por el método de Euler es muy cercana a la gráfica de la función.

2 Leyes de Kirchhoff

Según las leyes de Kirchhoff, el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente al circuito 2 es el siguiente:

[math]\left\{\begin{matrix}\ [1] E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_2\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_2(t) + R_2\cdot i_2(t)\\ [2] E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_1\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_3(t)\\ [3] i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)\end{matrix}\right.[/math]

[1]Correspondiente al recorrido exterior del circuito.
[2]Correspondiente a la malla izquierda, (malla 1).
[3]Correspondiente al nudo de la parte superior del circuito(Ley de corrientes de Kirchhoff).

Sustituyendo la tercera ecuación en las otras dos, se obtiene el sistema en términos de i2(t) e i3(t) matricialmente::[math]\frac{d}{dt}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{R_1+R_2}{L_2}&\frac{R_1}{L_2} \\ \frac{R_1}{L_1}&\frac{R_1}{L_1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{E}{L_2} \\ \frac{E}{L_1} \end{pmatrix}[/math]

A partir de las condiciones iniciales i2(0)=i3(0)=0 se puede interpretar que la corriente en el circuito es nula en el momento en el cual se conecta el generador.

2.1 Cálculo de las intensidades de un circuito con varias resistencias y bovinas a partir del Método de Euler y del Trapecio.

Ya se ha visto que la expresión de las intensidades i2 e i3 de este circuito RL vienen dadas por dos ecuaciones diferenciales que conforman un sistema. Este sistema de ecuaciones diferenciales se puede resolver numéricamente a partir del método de Euler y del trapecio, los cuales se basan en la aproximación de las áreas de esa ecuación diferencial al valor real de la función en cada momento.

Partiendo de unos datos iniciales iguales a:

[math] R_1=R_2=6Ω [/math] , [math] R_3=3Ω [/math] , [math] L_1=0,3Hz [/math] , [math] L_2=0,11Hz [/math] y [math] E(t)=20 V [/math]

:[math]\frac{d}{dt}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{6+6}{0,11}&\frac{6}{0,11} \\ \frac{6}{0,3}&\frac{6}{0,3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{20}{0,11} \\ \frac{20}{0,3} \end{pmatrix}[/math]

• MÉTODO DE EULER:

OCTAVE

DATOS:

clc;clear all;
    %tiempo inicial
t0=0;
    %t0=tiempo máximo a evaluar
tN=0.04;
    %tN=soluciones en y0 para las variables i2 e i3
y0=0;
    %y0=intervalos en los que se dividen
N=25;
	%h=salto de intervalo en intervalo
h=(tN-t0)/N;
    %i1,i2,i3=vectores solución desde t0 a tN de h en h
i1=t0:h:tN;

i2=t0:h:tN;

i3=t0:h:tN;

    %y=vector de ceros y que va a almacenar las soluciones.Tendrá N+1 términos porque el primero es el cero y el ultimo el N
    %la intensidad dos es y(:,1),es decir, la fila 1.
    %la intensidad tres es y(:,2),es decir, la fila 2.
    %la intensidad uno es y(:,3),es decir, la fila 3.
y=zeros(N+1,3);
y(1,1)=y0;
y(1,2)=y0;
y(1,3)=y0;
%AHORA SE EMPIEZA A RESOLVER POR EULER EL SISTEMA.
%y(n+1)=y(n)+h*f(t(n),y(n))
%f(t,i2)=((E/L2)-R1*(i2+i3)+R2*i2)/L2
%f(t,i3)=((E/L1)-R1*(i2+i3)+R3*i3)/L1
for n=1:N
    y(n+1,1)=y(n,1)+h*((20/0.11)-(6*(y(n,1)+y(n,2))+6*y(n,1))/0.11);
    y(n+1,2)=y(n,2)+h*((20/0.3)-(6*(y(n,1)+y(n,2))+3*y(n,2))/0.3);
    y(n+1,3)=y(n+1,1)+y(n+1,2);
end
hold on
plot(i1,y(:,3),'+')
plot(i2,y(:,1),'r+')
plot(i3,y(:,2),'g+')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad(t)');

• MÉTODO DEL TRAPECIO:

OCTAVE

DATOS:
clc;clear all;
    %tiempo inicial
t0=0;
    %tiempo máximo a evaluar
tN=0.04;
    %soluciones en y0 para las variables i2 e i3
y0=0;
    %intervalos en los que se dividen
N=25;
	%salto de intervalo en intervalo
h=(tN-t0)/N;
    %vectores solución desde t0 a tN de h en h
i1=t0:h:tN;
i2=t0:h:tN;
i3=t0:h:tN;
    %vector de ceros y que va a almacenar las soluciones
    %tendra N+1 términos porque el primero es el cero y el ultimo el N
    %la intensidad dos es y(:,1)
    %la intensidad tres es y(:,2)
    %la intensidad uno es y(:,3)
y=zeros(N+1,3);
y(1,1)=y0;
y(1,2)=y0;
y(1,3)=y0;
PARA RESOLVER POR EL MÉTODO DEL TRAPECIO:
%y(n+1)=y(n)+(h/2)*(f(t(n),y(n)+f(t(n+1),y(n+1))
%f(t,i2)=((E/L2)-R1*(i2+i3)+R2*i2)/L2
%f(t,i3)=((E/L1)-R1*(i2+i3)+R3*i3)/L1
for n=1:N
    y(n+1,1)=y(n,1)+(h/2)*(((20/0.11)-(6*(y(n,1)+y(n,2))+6*y(n,1))/0.11)+((20/0.11)-(6*(y(n+1,1)+y(n+1,2))+6*y(n+1,1))/0.11));
    y(n+1,2)=y(n,2)+(h/2)*(((20/0.3)-(6*(y(n,1)+y(n,2))+3*y(n,2))/0.3)+((20/0.3)-(6*(y(n+1,1)+y(n+1,2))+3*y(n+1,2))/0.3));  
    y(n+1,3)=y(n+1,1)+y(n+1,2);
end
plot(i1,y(:,3))
plot(i2,y(:,1),'r')
plot(i3,y(:,2),'g')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad(t)');
hold off