El Vortice de Rankine (Grupo 11)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título El Vortice de Rankine. Grupo 11
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores
  • Pelayo Rodriguez Maestre
  • Álvaro Calvente Soler
  • David Pérez Romero
  • François Botet de Lacaze
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

2 Formulación matemática del vórtice de Rankine

explicar formula matematica de rankine

3 Determinación de la circulación y visualizacion del flujo

Código MATLAB Gráfica obtenida 
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
                    (rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);  rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy =  v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask     = rho_xy <= L;      % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in  = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy >  R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]);   % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in),  y(mask_in),  Ux(mask_in),  Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
 Perfil1 EF4.png

Horizontal1.png

4 Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos

5 Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad

Código MATLAB Gráfica obtenida 
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R    = 250;        % radio del núcleo (m)
vR   = 90;         % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800;           % extensión máxima (m)
N = 200;           % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho   = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
%   (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2));   % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional 

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
 RotacionalEF4.png

6 Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante

7 Distribución vertical de la presión en el vórtice

Código MATLAB Gráfica obtenida 
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
    (x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)';   % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;
 CampoPresion.png

8 Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo

Código MATLAB Gráfica obtenida 
<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Campo de presión p(rho,z) en un vórtice de Rankine
clear; close all; clc;

%% Parámetros físicos
rho_f = 1.2;      % densidad del fluido [kg/m^3]
g     = 9.81;     % gravedad [m/s^2]

%% Parámetros del vórtice
Gamma = 400;      % circulación total [m^2/s]
a     = 100;      % radio del núcleo [m]
Omega = Gamma/(2*pi*a^2);

%% Dominio
rho_max = 1000;   % [m]
z0      = 1000;   % [m]

Nr = 500;         % resolución radial
Nz = 300;         % resolución vertical

rho = linspace(0,rho_max,Nr);
z   = linspace(0,z0,Nz);
[R,Z] = meshgrid(rho,z);

%% Perfil de velocidad v_theta(rho)
vtheta = zeros(size(rho));
inside  = rho <= a;
outside = rho >  a;

vtheta(inside)  = Omega .* rho(inside);
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*rho(outside));

%% Cálculo de presión radial p(rho)
p = zeros(size(rho));
p0 = 101325;  % presión de referencia (atm)

% región interna
p(inside) = p0 - rho_f*(Omega^2/2).*rho(inside).^2;

% valor en el borde para continuidad
p_a = p(find(inside,1,'last'));

% región externa
for i = find(outside)
    r = rho(i);
    p(i) = p_a - rho_f*(Gamma^2/(8*pi^2))*(1/a^2 - 1/r^2);
end

%% Extender p(rho) a p(rho,z): añadir hidrostática
P = p + rho_f*g*(z0 - Z);   % matriz completa NxM

%% --- Gráfica ---
figure('Position',[200 100 900 700]);
imagesc

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==
== Conclusiones ==
== Mapa de colores del campo de presión ==

A continuación se muestra el campo de presión calculado para el vórtice:


[[Archivo:Grd.jpg|center|600px|Mapa de colores del campo de presión p(rho,z)]]
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