La Catenaria (Grupo 19)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La catenaria. Grupo 19
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Pedro Harguindey Domínguez Sara Gozalo Jaber Álvaro Espinosa Varadé Lucía de la Riva Azpiri
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Se denomina catenaria a la curva de equilibrio que adopta un hilo flexible y de densidad homogénea, al estar sujeto exclusivamente a la acción de un campo gravitatorio uniforme y con sus extremos fijos. En términos más precisos, la catenaria no constituye una curva única, sino una familia de curvas. Además, cada punto de la catenaria cumple con el principio de equilibrio estático para las componentes horizontales de fuerza, resultando en una cadena estable libre de desplazamientos laterales.

Asimismo, Galileo creyó que la catenaria era una parábola por su forma parecida pero ambas curvas son diferentes; pues mientras la parábola está descrita por una ecuación cuadrática, en la expresión de la catenaria se involucran funciones hiperbólicas. Estas son sus fórmulas:

La a de la fórmula de la catenaria indica el radio de curvatura en el vértice de la catenaria, es decir, en el punto más bajo. Como se puede ver en la imagen, la curva va cambiando según cambia la a, en este trabajo se va a usar a=3.

Taq Kasra Irak

1 Dibujo de la curva

Representación de la catenaria

% Definir la parametrización
 t = linspace(-1, 1, 1000);
 x = t;
 y = 3*cosh(t/3);
  % Dibujar la curva
 figure;
 plot(x, y, 'LineWidth', 2,'Color','g');
 title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, 3cosh(t/3))');
 xlabel('x');
 ylabel('y');
 grid on;

2 Vector velocidad y vector aceleración

2.1 ¿Qué representan?

El vector velocidad describe cómo va cambiando la posición del punto que recorre la catenaria indicando la rapidez con la que avanza a lo largo de la curva, siendo más grande en las zonas donde la pendiente es mayor. Por su parte, el vector aceleración muestra cómo varía esa velocidad y apunta hacia arriba porque la función hiperbólica crece con rapidez en ambas direcciones del parámetro t.

2.2 Ecuaciones de velocidad y aceleración

La curva está parametrizada en coordenadas cartesianas como: con A>0 y A=3, la parametrización de la curva es Derivando esta función respecto del tiempo obtenemos la ecuación de la velocidad, volviendo a derivar respecto del tiempo se obtiene la ecuación de la aceleración.

2.2.1 Ecuación de la velocidad:

2.2.2 Ecuación de la aceleración:

2.3 Código de la grafica velocidad aceleración

Representación velocidad y aceleración

% Definir la parametrización
a=3;
t = linspace(-1, 1, 20);
x = t;
y = a*cosh(t/a);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, a*cosh(t/a))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;

% Velocidad y aceleración 
V1 = ones(size(t));  
V2 = (a/a)*sinh(t/a);
A1 = zeros(size(t));  
A2 = (a/a^2)*cosh(t/a);

% Gráfica 
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "g");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);
% Etiquetas
 title('Gráfica velocidad aceleración')
legend("Catenaria","Velocidad","Aceleración")
 axis("equal")

3 Longitud de la curva

La longitud de la curva es la distancia real medida a lo largo del recorrido entre dos puntos específicos. Matemáticamente, se define como la integral del módulo (o norma) del vector velocidad con respecto a un parámetro, t. Para una catenaria parametrizada, la longitud de la curva se calcula como la integral definida del módulo de la velocidad en el intervalo t ∈ (-1, 1). En el ámbito de la ingeniería, esta métrica es fundamental para el cálculo de materiales, ya que permite determinar con precisión la cantidad de recursos necesaria para cubrir una determinada distancia o trayectoria curva.

3.1 Código de la longitud de la curva

Representación longitud de la curva

% Parámetros iniciales
a = -1; 
b = 1; 
n = 100; % Número de subintervalos
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t/3).^2);  % Integrando (longitud de catenaria)

% Paso del intervalo
h = (b - a) / n;

% Puntos del método del rectángulo (lado izquierdo)
X = linspace(a, b-h, n);

% Cálculo numérico de la integral
valinic = sum(f(X));
integral_rect = h * valinic;

% Gráfica de la función y los rectángulos
t_valores = linspace(a, b, 500);
y_valores = f(t_valores);

figure;
hold on;
plot(t_valores, y_valores, 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar rectángulos
for i = 1:n
    x_rect_plot = [X(i), X(i), X(i)+h, X(i)+h];
    y_rect_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
    fill(x_rect_plot, y_rect_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.3, 'EdgeColor', 'r');
end

title('Aproximación de la integral con el método del rectángulo');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectángulos');
hold off;

% Resultado
fprintf('La aproximación de la integral con el método del rectángulo es: %.6f\n', integral_rect);

4 Vector tangente y normal

4.1 Vector tangente

El vector tangente es un vector paralelo a la curva en un punto dado y representa la dirección y la tasa de cambio de la curva en ese punto. Se puede conseguir a partir de la siguiente fórmula.
Este vector es unitario, es decir, tiene magnitud uno y por lo tanto se tiene que dividir la formula del vector tangente: entre su módulo: consiguiendo así el vector tangente unitario con la siguiente fórmula:

Representación vector tangente

%formula catenaria
t=linspace(-1,1,20);
 x=t;
 y=3*cosh(t/3);
 % Vectores tangentes unitarios interiores
  t1i=(1)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
  t2i=sinh(t/3)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
  % Vectores tangentes unitarios 
  hold on
  plot(x,y,'LineWidth',2, 'Color','c');
  quiver(x,y,t1i,t2i,'Color','m');
 hold off
 % Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Etiquetas
 title('Vector tangente unitario')
 legend("Catenaria","Vector tangente unitario")
 axis("equal")
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 box on

4.2 Vector normal

El vector normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado, siendo así también perpendicular al vector tangente. Además, es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento. Obtenemos el vector normal a partir de la fórmula:

Representación vector normal interior y exterior

% Definición de los parámetros
  a=-1;
  b=1;
  h=0.09;
  t=a:h:b;
  % Definición de la curva
  x=t;
  y=cosh(t);
  % Vectores normales unitarios orientación interior
 n1i=sinh(t/3)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
 n2i=-(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
 % Vectores normales unitarios orientación exterior
 n1e=-sinh(t/3)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
 n2e=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
 hold on
 plot(x,y,'LineWidth',2,'Color','g');
 quiver(x,y,n1i,n2i,'Color','m');
 quiver(x,y,n1e,n2e,'Color','k');
 hold off
 % Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Etiquetas
 title('Vectores normales')
 legend("Catenaria","Vector normal interior","Vector normal exterior")
 axis("equal")
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 box on

5 Curvatura

La curvatura cuantifica la tasa de cambio del vector tangente unitario con respecto al recorrido a lo largo de la curva. Dicho de otra manera, mide que tan rápido cambia la dirección de la curva. Una curva cerrada con un radio pequeño tiene una curvatura grande, por el contrario, una curva abierta con un radio grande (o infinito) tiene una curvatura pequeña o nula. La fórmula de la curvatura es la siguiente:

5.1 Código Matlab del cálculo de la curvatura

Representación curvatura

n =100;
 t = linspace ( -1 , 1 , n) ;
k = (1/2)*(cosh(t/3)./((1+(sinh(t/3)).^2)).^(3/2)) ;
 figure
 plot (t ,k ,'m') ;
 axis equal
 title ('Curvatura catenaria (t). ') ;
 xlabel('t');
 ylabel('\kappa(t)');
grid on

6 Circunferencia osculatriz

La circunferencia osculatriz de una curva C en un punto P es la circunferencia que tiene el máximo orden de contacto con la curva en ese punto, es decir, comparte la misma posición, el mismo vector tangente (t) y el mismo vector normal principal (n) que la curva. En esencia, es la circunferencia que mejor se ajusta a la curva C en P. Además, se usa en ingeniería para aproximar trayectorias suaves (como en el diseño de vías) y en física para modelar el movimiento curvilíneo.

6.1 Radio de curvatura

Es el inverso de la curvatura κ(t):

En el punto t=-0.5 el radio es igual a 3.0842

6.2 Centro de curvatura

Se encuentra en la recta normal principal de la curva y su posición OZ se define por la ecuación fundamental:

En el punto t=-0.5 el centro de la circunferencia está en el punto (0.0176, 6.1260)

6.3 Código de Matlab para la curvatura

% Punto de la catenaria donde calculamos la circunferencia osculatriz
t = -0.5;
% Curvatura k(t) de la catenaria y radio de curvatura R
k = 1./(3*(cosh(t/3)).^2);
R = 1/k;   % Radio de curvatura R = 1/k
% Punto de la catenaria: (x(t), y(t))
P = [t, 3*cosh(t/3)];
% Vector normal unitario (ya está normalizado)
n = [ -tanh(t/3), 1./cosh(t/3) ];
% Centro de la circunferencia osculatriz
C = P + R * n;
% Puntos para dibujar la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 150);
x_circ = C(1) + R*cos(theta);
y_circ = C(2) + R*sin(theta);
% DIBUJO
figure;
plot(x_circ, y_circ, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
% Catenaria
T = -1:0.05:1;
x_cat = T;
y_cat = 3*cosh(T/3);
plot(x_cat, y_cat, 'r', 'LineWidth', 3);
% Ajustes de gráfica
plot(P(1), P(2), 'ko', 'MarkerFaceColor','k'); % punto donde se aproxima
axis equal;
grid on;
title('Circunferencia Osculatriz y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia osculatriz','Catenaria','Punto P');
hold off;

7 La catenaria

La catenaria describe la forma geométrica que adopta una cadena, cable o cuerda idealmente flexible y con masa distribuida uniformemente, cuando está suspendida por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. Estructuralmente, trabaja en un estado de tracción pura en todos sus puntos, sin esfuerzos laterales, ya que las tensiones horizontales del cable se compensan perfectamente.

La relevancia de esta curva en la ingeniería proviene de un principio fundamental conocido como la Reflexividad Estructural (o reciprocidad entre tracción y compresión). Este principio establece que la geometría de una estructura es el factor mas importante para determinar su comportamiento bajo carga y que es la base de todo el comportamiento estructural. “La forma sigue la función, pero la función depende críticamente de la forma”

En la ingeniería civil, la forma de la catenaria es la más eficiente para distribuir las cargas. Esto permite optimizar el uso de materiales, garantizar la estabilidad de la construcción y, en consecuencia, reducir costos e incrementar su vida útil. Algunos ejemplos de aplicaciones son el arco funicular y la aplicación con cables.

• Arco Funicular (Catenaria Invertida): Este es el principio clave en la Ingeniería Estructural. Al invertir la catenaria, se obtiene la forma de arco más eficiente que trabaja a compresión pura, minimizando esfuerzos laterales y eliminando la necesidad de contrafuertes. (auditorio)
• Aplicaciones con Cables: Se utiliza para el cálculo y diseño de cables principales en puentes colgantes y en líneas de transmisión eléctrica para determinar la tensión y la flecha. (puente Akashi)

Antoni Gaudí desarrolló su sistema estructural, que llamó "teoría arquitectónica estructural espacial", basándose íntegramente en la mecánica y geometría de las curvas funiculares. Su objetivo era ligar formas geométricas a las formas naturales, adoptando la línea de presión para lograr estructuras que se sostienen a sí mismas. La Maqueta Funicular fue el método de diseño ideado por Gaudí para encontrar la forma estructural perfecta. Consistía en un modelo a escala donde cordeles colgantes con pesos simulaban los arcos y las cargas del edificio. Al invertir el modelo, la forma resultante era la de los arcos y bóvedas ideales, asegurando que toda la estructura trabajara a compresión pura, eliminando así la necesidad de contrafuertes.

8 Ejemplos de estructuras civiles

Estos son algunos ejemplos de la curva aplicada en la ingeniería civil. El auditorio es un ejemplo de arco funicular o catenaria invertida y el puente Akashi Kaikyō es un ejemplo de aplicación con cables.

• 

  Auditorio Félix Candela Valencia

• 

  Puente Akashi Kaikyo Japón

Algunos ejemplos para el sistema estructural de Antoni Gaudí (teoría arquitectónica estructural espacial) son los siguientes:

• Cripta de la Colonia Güell (1908-15): Utilizó una reproducción a escala 1:10 de la maqueta funicular para el diseño estructural.
• Sagrada Familia: Este sistema de la maqueta colgante fue crucial para el diseño de sus complejas bóvedas y estructuras, poniendo fin a la concepción clásica de la circunferencia perfecta en los arcos.

• 

  Cripta de la colonia Güel

• 

  Templo Expiatorio de la Sagrada Familia

Otros ejemplos de estructuras que utilizan el principio de la catenaria invertida o cables de catenaria para maximizar la eficiencia a compresión y la estabilidad incluyen el Arco Gateway en St. Louis (un modelo de catenaria invertida perfecta), el diseño de la cubierta de la Terminal TWA en Nueva York, la Antigua Reserva Federal de Minneapolis (cuyo vestíbulo está suspendido por cables de catenaria), el Kingdom Centre en Riad y el Estadio Olímpico de Montreal.

• 

  Estadio Olímpico Montreal Canadá

• 

  Kingdom Centre Riad Arabia Saudita

9 Parabola y catenaria

La catenaria es la forma geométrica que se produce cuando una cuerda, cadena o cable perfectamente flexible se suspende sometido exclusivamente a su propio peso que está distribuido uniformemente a lo largo de la curva. La función de la catenaria es de coseno hiperbólico: [math]y=a·cosh(\frac{x}{a})[/math]

En cambio, la parábola es la curva que adopta un cable cuando esta sometido a una carga uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal (no de la curva) haciendo que el peso propio sea despreciable en comparación con esta carga. La función de la parábola es cuadrática: [math] y=a·x^2+b·x+c [/math]

% Parámetros
A = 3; 
x = linspace(-10, 10, 500); % Rango de valores para x
% Ecuaciones
y_catenaria = A * cosh(x / A); % Ecuación de la catenaria
y_parabola = A + (x.^2) / A;   % Ecuación de la parábola
% Grafica
figure;
plot(x, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2); % Graficar catenaria en azul
hold on;
plot(x, y_parabola, 'b--', 'LineWidth', 2); % Graficar parábola en rojo
hold off;
% Personalización del gráfico
title('Catenaria vs Parábola');
legend('Catenaria: y = A cosh(x / A)', 'Parábola: y = A + x^2 / A');
axis tight;

11 Distribución de la densidad a lo largo de la superficie

La densidad de la superficie es:

$$f(x_1, x_2, x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2}$$ Utilizando la parametrización del catenoide $\vec{x}(u,v)$, la densidad en coordenadas paramétricas es:

$$\mathbf{f(u,v) = \frac{u^2}{1 + \cosh^2(u)}}$$ Esta densidad es máxima en los extremos del catenoide ($u=\pm 1$) y mínima en la cintura ($u=0$), y presenta una perfecta simetría rotacional (independiente de $v$).

13 Bibliografia

Chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.uv.es/ivorra/Libros/Catenaria.pdf
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/fdistancia/pie/Chip%20geom%C3%A9trico/Catenaria.pdf
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Curvas_1.pdf
https://www.epsilones.com/paginas/articulos/fragmentos-114-catenaria-longitud-arco.html

https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Curvas_1.pdf

https://www.bibliatodo.com/Diccionario-biblico/osculatriz

https://wiki.ead.pucv.cl/ESTUDIO_Y_APLICACI%C3%93N_DE_LA_CATENARIA