Mallado 2D de Arco I (Grupo 63)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Mallado 2D de Arco I. Grupo 63
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	María Cocina Sanjuanbenito, Fernando Trocoli de Toro, Rodrigo Sánchez de León Acevedo, Marta Reiter Hernández
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Se considera una placa plana bidimensional en forma de sección longitudinal de un arco, comprendido entre los radios 1 y 2. En ella vamos a tener definidas dos cantidades físicas: la temperatura 𝑇(𝑥,𝑦) en coordenadas cartesianas, y el campo de desplazamientos 𝑢(𝜌, 𝜃) en coordenadas cilíndricas.

Definimos la función temperatura como: 𝑇(𝑥,𝑦) = (𝑥 − 𝑦)^2.

Y el campo de desplazamientos como: 𝑢(𝜌, 𝜃) = 1/5 (𝜌 − 1)𝜌^2 sin𝜃⃗𝑒𝜃

2 Mallado de la placa

Para definir el mallado de la mitad de un anillo circular usaremos dos condiciones: que esté comprendido entre los radios R1=1 y R2=2, y el plano y ≥ |x|. Al estudiar la mitad de un anillo, trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Su representación quedará definida en la región (ρ,θ) ∈ [1,2] × [[math] \frac{\pi}{2},\frac{3π}{2}[/math]].

Para el muestreo, que son las subdivisiones deseadas por unidad en función de ambos ejes, usaremos \(h = 1/10\).

{{matlab|codigo=

h=0.1; r=1:h:2; t=pi/2:h:3*pi/2; %CAMBIO: De 90 a 270 grados [RR,TT]=meshgrid(r,t); x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);

%Representacion mesh(x,y,0*x); view(2); axis equal; axis([-3,1,-3,3]); %Ejes ajustados a la izquierda xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y'); title('Mallado solido');

%Bordes (Adaptados al nuevo rango) hold on plot(2*cos(t),2*sin(t),'k',1*cos(t),1*sin(t),'k',[0 0],[1 2],'k',[0 0],[-2 -1],'k','LineWidth',2); hold off

3 Curvas de nivel de la temperatura (isotermas)

La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen.

La distribución de la temperatura en el sólido para dibujar sus curvas de nivel, viene dado por la función:

[math]T(x,y)=(x-y)^2 [/math]

%2. Temperatura y Gradiente
h=0.1; r=1:h:2; t=0:h:pi;
[RR,TT]=meshgrid(r,t);
x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);

%Calculo
T=(x-y).^2;
dx=2.*(x-y); dy=-2.*(x-y);

%Grafica 2D
subplot(1,2,1);
mesh(x,y,0*x,'EdgeColor',[0 .7 .7],'FaceColor','none'); view(2);
hold on; quiver(x,y,dx,dy,'b','LineWidth',1.5); hold off
axis equal; axis([-3,3,-1,3]); title('Gradiente 2D');

%Grafica 3D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,T); hold on; quiver3(x,y,T,dx,dy,0*x,'k'); hold off
view(3); axis vis3d; title('Gradiente 3D'); colorbar;

A partir del campo escalar, podemos calcular el gradiente de la temperatura [math]\nabla T[/math]. Que indica la dirección en la que aumenta nuestra temperatura. |[math]\nabla T[/math]| nos especificará cuanto aumenta.

Para calcular nuestro gradiente en cilíndricas, usaremos la fórmula:

[math]\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k[/math]

Por lo tanto, el gradiente será:

[math]\nabla T = 2(x-y)\vec i-2(x-y)\vec j[/math]

4 Campo de vectores en el mallado

El campo de vectores [math]\vec u [/math] indica el desplazamiento de los puntos del sólido. En este caso usaremos la fórmula: [math] \vec u = \frac{1}{5}\vec (ρ-1)ρ^2 sen(θ)\vec e_θ [/math].

5 Arco antes y después del desplazamiento

Las imágenes muestran la representación del sólido antes y después de la deformación producida por el campo de desplazamientos [math] \vec u(ρ,θ) [/math].

%2. Temperatura y Gradiente
h=0.1; r=1:h:2; t=0:h:pi;
[RR,TT]=meshgrid(r,t);
x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);

%Calculo
T=(x-y).^2;
dx=2.*(x-y); dy=-2.*(x-y);

%Grafica 2D
subplot(1,2,1);
mesh(x,y,0*x,'EdgeColor',[0 .7 .7],'FaceColor','none'); view(2);
hold on; quiver(x,y,dx,dy,'b','LineWidth',1.5); hold off
axis equal; axis([-3,3,-1,3]); title('Gradiente 2D');

%Grafica 3D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,T); hold on; quiver3(x,y,T,dx,dy,0*x,'k'); hold off
view(3); axis vis3d; title('Gradiente 3D'); colorbar;

6 Divergencia del campo de vectores

6.1 ¿Qué es la divergencia?

Sea [math]\vec u(ρ,θ)[/math]: 𝐷 ⊂ ℝ3V un campo vectorial, expresado en la base cilíndrica. Y siendo la fórmula de la divergencia en coordenadas cilídricas:

[math]\nabla ·\vec{u} = \frac{1}{\rho} (\frac{\partial }{\partial \rho} (\rho u_\rho)+\frac{\partial }{\partial θ} (u_θ)+\frac{\partial }{\partial z} (\rho u_z))[/math]

El campo de desplazamientos es:

[math]\vec{u} = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho^2cos\theta [/math]

Una vez operado obtenemos

[math]\nabla ·\vec{u} =\frac{1}{5}\rho(\rho-1)cos\theta [/math]

6.2 ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? ¿Por qué?

Con el resultado del apartado anterior introducido en Matlab se puede observar que los puntos con máximos de divergencia son

%4. Divergencia
h=0.1; r=1:h:2; t=0:h:pi;
[RR,TT]=meshgrid(r,t);
x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);

div=(1/5).*(RR.^2-RR).*cos(TT); %Formula Divergencia

subplot(1,2,1); surf(x,y,div); view(2); axis([-3,3,-1,3]);
colorbar; title('Divergencia 2D'); xlabel('X'); ylabel('Y');

subplot(1,2,2); surf(x,y,div); view(3); axis([-3,3,-1,3]);
colorbar; title('Divergencia 3D'); axis vis3d;

fprintf('Maximo divergencia: %1.4f \n',max(max(div)));

7 Rotacional del campo de vectores |∇ × ⃗𝑢|

7.2 ¿Qué puntos tiene un mayor rotacional?

{{matlab|codigo= %5. Rotacional h=0.1; r=1:h:2; t=0:h:pi; [RR,TT]=meshgrid(r,t); x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);

ROT=abs((1/5).*(4.*RR.^2-3.*RR).*sin(TT)); %Formula Rotacional

subplot(1,2,1); surf(x,y,ROT); view(2); axis([-3,3,-1,3]); axis equal; colorbar; title('Rotacional 2D');

subplot(1,2,2); surf(x,y,ROT); view(3); axis vis3d; colorbar; title('Rotacional 3D');

fprintf('Rotacional maximo: %.4f\n',max(max(ROT)));

8 TENSIONES

En un sólido deformable, cuando aplicamos fuerzas externas, experimenta fuerzas internas ejercidas por el propio material, que "luchan" contra esta deformación. Estas fuerzas internas se describen mediante un tensor de tensiones [math]\sigma [/math] que en cada punto indica: cómo el resto del material impide la deformación de la fuerza externa, y en qué dirección actúan estas fuerzas.

Las tensiones se obtienen a partir de la fórmula: [math]\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon (\vec u) [/math] donde I es el tensor identidad y λ,µ son los coeficientes de Lamé.

Si tomamos como valores de µ = λ = 1, nuestra expresión queda:

[math]\sigma = \nabla · \vec u I + 2 \epsilon(\vec u) [/math]

8.1 Tensor de deformaciones

En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos [math] \vec u [/math] determinan las deformaciones a través del tensor de deformaciones:

[math]\epsilon(\vec u) =\frac{\nabla{\vec u}+(\nabla{\vec u})^t}{2}[/math]

que equivale a la parte simétrica del gradiente del campo de desplazamientos.

Para ello se calculan [math]\nabla{\vec u(ρ,θ)}[/math] y [math](\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t[/math]:

[math]\frac{\partial \vec{u}}{\partial\rho}=\frac{1}{5}(3\rho^2 -2\rho)sen\theta\vec{e}_{\theta}[/math] [math]\frac{\partial \vec{u}}{\partial\theta}= - \frac{1}{5}(\rho-1)\rho sen\theta\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta\vec{e}_{\theta}[/math] [math]\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=0[/math]

Por tanto, la matriz [math]\nabla{\vec u(ρ,θ)}[/math] es:

[math]\triangledown \vec{u}(\rho,\theta) = \begin{pmatrix} 0 & - \frac{1}{5}(\rho-1)\rho sen\theta& 0 \\ \frac{1}{5}(3\rho^2 -2\rho)sen\theta & \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

Y su traspuesta [math](\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t[/math]:

[math]\triangledown \vec{u}(\rho,\theta)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{5}(3\rho^2 -2\rho)sen\theta & 0 \\ - \frac{1}{5}(\rho-1)\rho sen\theta& \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}[/math]

Por lo que el tensor deformaciones quedaría como:

[math]\epsilon (\vec{u}(\rho ,\theta ))=\frac{\triangledown \vec{u}(\rho, \theta )+ \triangledown \vec{u} (\rho ,\theta)^{T}}{2}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{10}(2\rho -1)\rho sen\theta & 0 \\ \frac{1}{10}(2\rho -1)\rho sen\theta & \frac{1}{5}(\rho -1)\rho cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}[/math]

8.2 Tensor de tensiones

Para hallar el tensor de tensiones, de fórmula [math]\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon [/math], usaremos los coeficientes de Lamé, el gradiente del campo de desplazamientos y el tensor de deformaciones calculado anteriormente.

[math]\sigma =λ\begin{pmatrix} \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta \\ \end{pmatrix} + µ\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & 0 \\ \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & \frac{2}{5}(\rho -1)\rho cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = [/math]

Tomando como valores de λ y de µ = 1, [math]\sigma[/math] es:

[math] \begin{pmatrix} \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & 0 \\ \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & \frac{3}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta \\ \end{pmatrix} [/math]

8.3 Tensiones normales

A continuación calcularemos las tensiones ortogonales al plano de la placa, definido por los parámetros [math]\rho[/math] y [math]\theta[/math].

Las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\overrightarrow e_{\rho} [/math], es decir, [math]\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}[/math] son:

[math]\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & 0 \\ \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & \frac{3}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta \\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta[/math]

Las tensiones normales en la dirección que marca el eje eje[math]\overrightarrow e_{\theta} [/math], es decir [math]\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}[/math] son:

[math]\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & 0 \\ \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & \frac{3}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta \\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{3}{5}(\rho-1)\rho cos\theta[/math]

Las tensiones normales en la dirección que marca el eje eje[math]\overrightarrow e_{z} [/math], es decir [math]\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}[/math] son:

[math]\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & 0 \\ \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & \frac{3}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta \\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta [/math]

A continuación representaremos cada una de las direcciones que toman las tensiones normales según el eje.

9 Tensiones tangenciales

Las tensiones tangenciales son las componentes perpendiculares a la normal del plano.

9.1 Respecto al plano ortogonal con eje [math]\vec e_ρ [/math]

En este caso, las tensiones tangenciales son las componentes en las direcciones [math]\vec e_\theta [/math] y [math]\vec e_z [/math], es decir:

|[math]σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = \left| \begin{pmatrix} (\frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & \frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & 0 \\\frac{1}{5}(2\rho -1)\rho sen\theta & \frac{3}{5}(\rho-1)\rho cos\theta & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta) \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{5}(\rho-1)\rho cos\theta \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = [/math]

[math] '''\frac{\rho -1}{2\rho}(e^{\rho-1} sin(2\theta-\frac{\pi}{2})'''[/math]

11 Masa de la placa

Teniendo en cuenta que la densidad del material viene dada por [math] 𝑑(𝜌,𝜃) = 1+𝑒^((𝜌^2)*cos𝜃) [/math], se calcula la masa del mismo aplicando la siguiente fórmula.

[math] Masa = \int_{u}^{u}\int_{v}^{v}f(\vec r(u,v)) |(\vec r´_{u})\times(\vec r´_{v})|dudv [/math]

De manera que la masa del material es:

cálculos

La resolución de la integral resultante se ha aproximado a través del método del rectángulo con el siguiente código de Matlab.

12 Interpretación con ejemplo práctico

En este trabajo se ha estudiado la respuesta elástica de una sección longitudinal de un arco comprendido entre los radios 1 y 2, que ha estado sometido a un campo de desplazamientos [math] \vec u = \frac{1}{5}\vec (ρ-1)ρ^2 sen(θ)\vec e_θ [/math] y se ha analizado la distribución de la temperatura [math]T(x,y)=(x-y)^2 [/math].

Por otro lado, si interpretamos el trabajo desde un enfoque práctico, observamos que existe una aplicación real. Suponemos que el dominio es una parte de la corteza terrestre y que el desplazamiento es provocado por las ondas S en terremotos. Esto quiere decir, que se interpreta el campo de deslizamientos como una onda sísmica de tipo S, que se propaga en una parte de la corteza terrestre representada por el arco de radios 1 y 2.

Las ondas S producen desplazamientos tangenciales, dando lugar a deformaciones de cizalla. Esto coincide con el comportamiento del campo de deslizamientos, que desplaza cada punto únicamente en su dirección tangencial, moviendo el material sin cambiar su volumen de manera uniforme. El desplazamiento está dirigido según 𝑒𝜃, luego describe un movimiento tangencial (de tipo cizalla) alrededor del origen. El factor (𝜌 − 1) anula el desplazamiento en la frontera interior (𝜌 = 1, por lo que la deformación es nula en el borde interno y aumenta hacia el exterior. La dependencia sin𝜃 introduce una variación angular: los desplazamientos son nulos en 𝜃=0,𝜋 y máximos en 𝜃=𝜋/2,3𝜋/2.

Comportamiento onda S en la superficie

La divergencia calculada muestra las zonas de la corteza terrestre donde el terreno se expande o comprime. En este caso, las ondas S no generan grandes cambios volumétricos, pues el modelo presenta pequeñas variaciones que pueden interpretarse como ajustes locales del terreno al propagarse la perturbación.

El rotacional representa las zonas donde el material experimenta giro debido al paso de la onda. Esta información permite ver en qué direcciones el terreno tiende a girar durante las vibraciones de estas ondas sísmicas.

Las tensiones normales y tangenciales obtenidas se pueden interpretar como las fuerzas internas que se desarrollan por debajo del terreno como respuesta al desplazamiento. Estas tensiones suelen ser las causantes de la formación de grietas o incluso fallas, cuando superan la resistencia del material. Las tensiones más elevadas se encuentran en la parte más alejada del dominio, donde los desplazamientos son mayores.

Finalmente, se puede observar que el modelo trabajado puede interpretarse como una versión simplificada del comportamiento de la corteza terrestre durante el paso de una onda sísmica de tipo S. Dentro de que está idealizado, nos permite entender cómo se distribuyen los desplazamientos, las tensiones y deformaciones en el terreno ante las vibraciones sísmicas.