Modelo predador-presa de A. Lotka y V. Volterra

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Modelo predador-presa. Grupo 6B
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2013-14
Autores	Paula De Santos Muñoz, María del Mar García Reinaldos, Elisabet Sánchez López, Ana Santos Martín, Isabel Sastre Furones, Ángel Antonio Villa Figueroa
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

3 Resolución por el método de Euler

3.1 Programación del método numérico

El programa utilizado para resolver el problema de valor inicial mediante el método de Euler en un intervalo de tiempo tє[0,300], para una longitud de paso h=0.1, constantes A₁=0.35, A₂=0.6, B₁=0.3, B₂=0.5, C₁=0.37, C₂=0.04 y C₃=0.035, y valores iniciales de p₀=0.8 millones de presas de un tipo, q₀=2.4 millones de presas de otro tipo y d₀=0.2 millones de predadores es el siguiente:

%Datos del problema
t0=0;
tf=300;
A1=0.35; A2=0.6;
B1=0.3; B2=0.5;
C1=0.37; C2=0.04; C3=0.035;
%Datos de la discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
%Condiciones iniciales
p0=0.8;
q0=2.4;
d0=0.2;
y0=[p0 q0 d0]';
%Matrices de coeficientes del sistema
A=[A1 0 0;0 B1 0;0 0 -C1];
B=[-A2 0 C2]';
C=[0 -B2 C3]';
%Vector de tiempos y matriz de soluciones aproximadas
t=t0:h:tf;
y=zeros(3,N+1);
%Inicialización
y(:,1)=y0;
yy=y0;
for n=1:N
    yy=yy+h*(A*yy+B*yy(1)*yy(3)+C*yy(2)*yy(3));
    y(:,n+1)=yy;
end

3.2 Gráficas

De la aplicación del método numérico se obtienen las siguientes gráficas, de las que sacaremos conclusiones posteriormente.

En esta primera gráfica, obtenida como resultado de utilizar como longitud de paso h=0.1, se muestran las tres funciones equivalentes a la evolución en el tiempo de los dos tipos de presas y del predador. Cada curva presenta unos máximos periódicos desplazados los unos respecto de los otros, lo cual se debe al desfase con el que evolucionan las distintas especies: primero aumentan las poblaciones de ambas presas (creciendo más aquella de la que inicialmente hay más ejemplares) y después comienza a aumentar la población de la especie predadora, pues puede alimentarse fácilmente. Ésta última alcanzará su primer máximo cuando las presas disminuyen, tras lo cual disminuye también el número de predadores al escasear el alimento. Este proceso se dará periódicamente a lo largo de los 300 años. Es notable la diferencia en la evolución de ambos tipos de presas.

3.3 Interpretación de resultados

Al aumentar la longitud paso de h=0.1 a h=1, lo que observamos es una pérdida de precisión en los resultados, ya que el valor de la aproximación calculada por el método de Euler se aleja demasiado de la solución exacta del problema de valor inicial.

5 Resolución por el método trapezoidal

El método trapezoidal es un método implícito que, en nuestro caso, requiere la resolución de una ecuación no lineal. Éste no es un proceso sencillo, por lo que se descarta el método y no se tendrá en cuenta a la hora de comparar resultados.