Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Carazo Ureña, Laura García de veas González, Marcos Molina Amigo, Pablo Ronchas Martin, Luis Alfonso
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

El flujo de Couette describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.​

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

7 Representación del Campo de Temperaturas

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión [math] T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta [/math] se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel:

7.1 Representación del campo y curvas de nivel

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

% Mallado
rho   = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted           % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('T');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0);   % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

%+ PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;

8 Gradiente de la temperatura

8.1 Cálculo del gradiente de T

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:

[math] \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta [/math]

De manera que:

[math] \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta [/math]

[math] \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) [/math]

[math] \nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta [/math]

clear
clc
% Definir el rango de rho y theta
rho = linspace(0, 2, 300);
theta = linspace(0, 2*pi, 300);

% Crear malla para rho y theta
[R, T] = meshgrid(rho, theta);

% Calcular temperatura T
Temperature = log(1 + R.^2) .* cos(T).^2;

% Calcular el gradiente analítico en coordenadas polares
dT_drho = (2 .* R) ./ (1 + R.^2) .* cos(T).^2;
dT_dtheta = -2 .* log(1 + R.^2) .* cos(T) .* sin(T);

% Evitar división por cero en rho=0
epsilon = 1e-10;
R_mod = R + epsilon;

% Convertir gradiente a coordenadas cartesianas
grad_x = cos(T) .* dT_drho - (1 ./ R_mod) .* sin(T) .* dT_dtheta;
grad_y = sin(T) .* dT_drho + (1 ./ R_mod) .* cos(T) .* dT_dtheta;

% Convertir coordenadas polares a cartesianas para graficar
X = R .* cos(T);
Y = R .* sin(T);

% Crear figura con dos subplots
figure;

% Primer subplot: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, Temperature, 30, 'LineWidth', 1.5);
colormap('winter');
colorbar;
hold on;
quiver(X(1:10:end, 1:10:end), Y(1:10:end, 1:10:end), grad_x(1:10:end, 1:10:end), grad_y(1:10:end, 1:10:end), 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1);
title('Curvas de nivel y gradiente');
axis equal;
grid on;
hold off;

% Segundo subplot: solo gradiente
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:10:end, 1:10:end), Y(1:10:end, 1:10:end), grad_x(1:10:end, 1:10:end), grad_y(1:10:end, 1:10:end), 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1);
title('Gradiente de temperatura');
axis equal;
grid on;
axis equal;
hold off;

10 Bibliografía

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid