Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 37)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 37
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Paula Gutiérrez Pascual Rafael Martín Candilejo Jaime Mateos Bermejo Hugo Zamora Ramos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

El flujo es la cantidad de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Es decir, el flujo de un fluido nos marca el movimiento de este desde un lugar a otro.

Dadas las descripciones anteriores, no es difícil caer en la cuenta de que el flujo de un fluido será capaz de describirnos como este se desplaza a través de una sección de interés, siendo capaces de analizar la velocidad y dirección de su movimiento del fluido en cada punto; es decir, el campo de velocidades del mismo.

Si el interés se dirige a la mecánica de fluidos, podremos sacar jugosa información sobre los efectos internos al fluido estudiado, como la divergencia y rotacional. La divergencia nos marca el cambio del volumen del fluido al enfrentarse al movimiento, marcado por el campo vectorial de velocidades, mientras que el rotacional muestra la tendencia del fluido, de su campo vectorial, a rotar alrededor de un punto.

Aplicado al problema planteado, al tratarse de un fluido incompresible, el volumen siempre se conserva y, por consiguiente, la divergencia del mismo siempre será cero.

Otra información destacable que podemos sacar del campo de velocidades del fluido será la interacción con las paredes u obstáculos de la sección de interés. Esto tendrá una cierta trascendencia para el desarrollo de nuestro trabajo, dado que se plantea una situación donde el fluido estudiado interacciona con un obstáculo con forma circular.

Frente a esta situación, el desarrollo del trabajo se hará respecto a coordenadas cilíndricas.

1 Mallado

En primer lugar, se representará con un mallado la región ocupada por el fluido. El obstáculo, situado en el centro de la gráfica, será el círculo unidad y el fluido ocupará el espacio circundante.

Para representar el fluido y mostrar que ocupa el espacio exterior al obstáculo, el mallado se describe con el anillo de radio interior 1 y radio exterior 5. Además, los ejes se mostrarán en el intervalo [−4,4]×[−4,4].

Dibujar el mallado facilita analizar el comportamiento del fluido al dividir el espacio que ocupa en pequeñas celdas, que se comportan como unidades de cálculo más manejables, permitiendo evaluar velocidades, temperaturas y otros fenómenos de forma precisa.

Mallado

r=linspace(1,5,50);
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X=R.*cos(A);
Y=R.*sin(A);
Z=zeros(size(A));

mesh(X,Y,Z);

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel ('Eje X');
ylabel ('Eje Y');
title ('Mallado de la región del fluido');

2 Velocidad del fluido

Sea la función potencial

[math] \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) [/math]

Hallamos su función gradiente tal que [math]\vec{u}[/math]=∇φ.

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta [/math]

Función potencial

r=linspace(1,5,50);
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X=R.*cos(A);
Y=R.*sin(A);
Z=(R+1./R).*cos(A);

surf(X,Y,Z);

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Función potencial');
colorbar;

Campo de velocidades y función potencial

Detalle del campo de velocidades

r=linspace(1,5,40);
a=linspace(0,2*pi,40);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X1=R.*cos(A);
Y1=R.*sin(A);
Z1=(R+1./R).*cos(A);

contour(X1,Y1,Z1,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X1,Y1,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Campo de velocidades');
colorbar;

3 Divergencia y rotacional

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta [/math]

3.1 Rotacional nulo

[math] \nabla\times\vec{u} =\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\left(1+\dfrac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z} \;-\; (-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z} = 0 [/math]

3.2 . Comprobación de la divergencia nula

Conociendo la fórmula de la divergencia calculamos:

[math]\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\rho\, \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right]=\frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta - \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \right] =0 [/math]

4 Líneas de corriente

Primero calcularemos el campo [math]\vec{v}[/math], que en cada punto es ortogonal a [math]\vec{u}[/math], ([math]\vec{v}[/math] = [math]\vec{k}\times\vec{u}[/math], donde [math]\vec{k}[/math]=[math]\vec {e}_{z}[/math]).

[math]\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v[/math]

Comprobamos que [math]\vec{v}[/math] es irrotacional:

[math]\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}[/math]

A continuación calculamos [math]\psi[/math], para ello resolveremos el sistema de ecuaciones [math]\nabla\cdot\psi=\vec v[/math]

[math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\,d\rho=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)[/math]

[math]\frac{\partial\psi}{\partial\theta}= \rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta),d\theta=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})[/math]

[math]\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)[/math]

Líneas de corriente del campo de velocidades

r=linspace(1,5,20);
a=linspace(0,2*pi,20);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X3=R.*cos(A);
Y3=R.*sin(A);
Z3=sin(A).*(R-(1./R));

contour(X3,Y3,Z3,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X3,Y3,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Líneas de corriente del campo de velocidades');
colorbar;

5 Apartado nueve

Sea la función potencial

[math] \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta) +\frac{\theta}{4 \pi} [/math]

Hallamos su función gradiente tal que [math]\vec{u}[/math]=∇φ.

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi},\vec{e}_\theta [/math]

NO BORRAR