Prototipo 101

1 Introducción y dibujo de la curva de la catenaria

Visualización de la curva de la catenaria

A lo largo de este artículo científico se realizará un estudio matemático de la curva de la catenaria apoyado del software científico de visualización MATLAB. La catenaria da nombre a la curvatura que describe un cable suspendido por sus dos extremos y condicionada únicamente por una fuerza gravitatoria uniforme. Esta curva natural tiene unas propiedades físicas interesantes por su eficiencia energética y un diseño estético. En este documento se analizan sus características fundamentales de interés matemático y físico y se muestra cómo los ingenieros han hecho uso de esta curva en sus proyectos.

La ecuación en el plano de la curva de la catenaria es [math]y=Acosh(\dfrac{x}{A})[/math] en la que el valor de A marca el vértice de la curva para [math]x=0[/math]. La parametrización la curva curva en coordenadas cartesianas en función del tiempo [math]t[/math] es la siguiente:

[math]γ(t)=(x(t),y(t))=(t,Acosh(\dfrac{t}{A}))[/math] ; [math]tє(-1,1)[/math] ; [math]A=3[/math]

Esta parametrización define una curva específica que será constante en todo el artículo.

%Fijamos el parámetro A (Vértice de la catenaria)
A=3;
%Vector temporal desde -1 hasta 1 dividido en 1000 instantes
t=linspace(-1,1,1000);
%Definimos la parametrización de la curva en coordenadas cartesianas
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujamos
plot(x,y,'Color',[0.3 0.3 0.8])
grid on
axis equal
title('Visualización de la curva de la catenaria')
xlabel('x(t)')
ylabel('y(t)')

2 Vectores velocidad [math]γ'(t)[/math] y aceleración [math]γ"(t)[/math]. Dibujo de los vectores junto a la curva

Catenaria y vectores velocidad y aceleración

Partimos de la parametrización la curva curva en coordenadas cartesianas

[math]γ(t)=(x(t),y(t))=(t,Acosh(\dfrac{t}{A}))[/math] ; [math]tє(-1,1)[/math] ; [math]A=3[/math]

Definimos su velocidad como el campo vectorial resultante de derivar el vector posición respecto del tiempo

[math]γ'(t)=\vec i + senh(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]

Definimos la aceleración como el campo vectorial resultante de derivar por segunda vez el vector posición respecto del tiempo

[math]γ"(t)=\dfrac{t}{A}cosh(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]

%Nuestra catenaria modelo
A = 3;
t = linspace(-1,1,1000);
x = t;
y = A*cosh(t/A);
hold on
plot(x,y,'Color',[0.3 0.3 0.8],'linewidth',3)
%Definimos el campo vectorial de la velocidad
vx=ones(size(t));
vy=sinh(t/A);
%Definimos el campo vectorial de la aceleración
ax=zeros(size(t));
ay=(1/A)*cosh(t/A);
%Segundo vector temporal
t2=1:120:length(t);
%Dibujamos
quiver(x(t2),y(t2),vx(t2),vy(t2),'Color',[0.55 0.65 0.4],'LineWidth',1,'MaxHeadSize',2)
quiver(x(t2),y(t2),ax(t2),ay(t2),'Color',[0.95 0.5 0.05],'LineWidth',1,'MaxHeadSize',2)
legend('Catenaria','Velocidad V(t)','Aceleración A(t)')
grid on
axis equal
title('Catenaria y vectores velocidad y aceleración')
xlabel('x(t)')
ylabel('y(t)')
hold off

3 Cálculo de la longitud de la curva

Para calcular la longitud de la curva se puede hacer uso del vector velocidad siguiente forma

[math]l(γ)=\int_{a}^{b}|γ'(t)|dt=\int_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt[/math]

Teniendo en cuenta que [math]cosh(t)^2-senh(t)^2=1[/math] y que la función es simétrica en [math]x=0[/math] el cálculo de la longitud de la curva es el siguiente

[math]l(γ)=\int_{-1}^{1}|\vec i + senh(\dfrac{t}{A})\vec j|dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1^2+(senh(\dfrac{t}{A})^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh(\dfrac{t}{A})^2}dt=\int_{-1}^{1}cosh(\dfrac{t}{A})dt=2\int_{0}^{1}cosh(\dfrac{t}{A})dt=2Asenh(\dfrac{t}{A})|_{0}^{1}=2Asenh(\dfrac{1}{A})=2ˑ3senh(\dfrac{1}{3})=2,037[/math]

4 Cálculo de los vectores tangente [math]\vec t (t)[/math] y normal [math]\vec n (t)[/math]. Dibujo de los vectores junto a la curva

Se define el vector tangente [math]\vec t (t)[/math] como el campo vectorial

[math]\vec t (t)=\dfrac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\dfrac{\vec i + senh(\dfrac{t}{A})\vec j}{cosh(\dfrac{t}{A})}=sech(\dfrac{t}{A})\vec i+tanh(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]

Y se define el vector normal [math]\vec n (t)[/math] como el campo vectorial

[math]\vec n (t)=\dfrac{(-y'(t)\vec i +x'(t)\vec j)}{|γ'(t)|}=\dfrac{(-senh(\dfrac{t}{A})\vec i+\vec j}{cosh(\dfrac{t}{A})}=-tanh(\dfrac{t}{A})\vec i+sech(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]

Catenaria y vectores tangente y normal

%Nuestra catenaria modelo
A = 3;
t = linspace(-1,1,1000);
x = t;
y = A*cosh(t/A);
hold on
plot(x,y,'Color',[0.3 0.3 0.8],'linewidth',3)
%Cálculos
t2 = linspace(-1,1,14);
x1 = t2;
y1 = A*cosh(t2/A);
dx = 1;
dy = sinh(t2/A);
norm_rp = cosh(t2/A);
%Campo vectorial del vector tangente
Tx = dx ./ norm_rp;
Ty = dy ./ norm_rp;
%Campo vectorial del vector normal
Nx = -dy ./ norm_rp;
Ny = dx ./ norm_rp;
% Representación de los vectores
escala = 0.5;
quiver(x1,y1, escala*Tx, escala*Ty, 'Color',[0.9 0.35 0.25],'LineWidth',1,'MaxHeadSize',2);
quiver(x1,y1, escala*Nx, escala*Ny, 'Color',[0.25 0.75 0.75],'LineWidth',1,'MaxHeadSize',2);
legend('Catenaria','Tangente T(t)','Normal N(t)')
grid on
axis equal
title('Catenaria y vectores tangente y normal')
xlabel('x(t)')
ylabel('y(t)')
hold off

5 Cálculo de la curvatura [math]κ(t)[/math]. Dibujo de su gráfica

Curvatura de la catenaria

La función de curvatura y su cálculo en coordenadas cartesianas es el siguiente

[math]κ(t)=\dfrac{x'(t)y"(t)-x"(t)y'(t)}{\sqrt{(x'(t)^2+y'(t)^2)^3}}=\dfrac{1}{Acosh^2(\dfrac{t}{A})}=\dfrac{1}{3cosh^2(\dfrac{t}{3})}[/math]

%Definimos nuestra catenaria
A=3;
t=linspace(-1,1,1000);
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Parametrización de la curvatura κ(t)
kappa = (1/A)*(sech(t/A)).^2;
%   Dibujo de la curvatura κ(t)
figure
plot(t,kappa,'Color',[0.8 0.3 0.3],'LineWidth',1.7)
grid on
title('Curvatura de la catenaria')
xlabel('t')
ylabel('\kappa(t)')

6 Cálculo del radio [math]R[/math] y centro [math]Q[/math] de la circunferencia osculatriz en el punto [math]P[/math]. Dibujo de la circunferencia osculatriz junto a la curva

Las herramientas anteriores nos permiten calcular con precisión la parametrización de la circunferencia osculatriz de la curva de la catenaria que queda determinada por

Su radio [math]R(t)=\dfrac{1}{|κ(t)|}=[/math] y su centro [math]Q(t)=γ(t)+\dfrac{1}{κ(t)}\vec n[/math]

Los siguientes cálculos se van a particularizar para el punto [math]P=γ(-0,5)[/math] que corresponde a [math]t=-0,5[/math]

[math]R(t)=Acosh^2(\dfrac{t}{A})=3cosh^2(\dfrac{-0,5}{3})=3,085[/math]

[math]Q(t)=(t,Acosh(\dfrac{t}{A}))+Acosh^2(\dfrac{t}{A})(-tanh(\dfrac{t}{A}),sech(\dfrac{t}{A}))=(-0,5,3cosh(\dfrac{-0,5}{3}))+3cosh^2(\dfrac{-0,5}{3})(-tanh(\dfrac{-0,5}{3}),sech(\dfrac{-0,5}{3}))=(-0,5, 3,041)+3,084(0,165, 0,986)=(0,009, 6,082)[/math]

Definimos la parametrización de la circunferencia como

[math]c(t)=(Q_x+Rcos(t), Q_y+Rsen(t)) ; tє(0, 2π)[/math]

[math]c(t)=(0,00886+3,084cos(t), 6,082+3,084sen(t)) ; tє(0, 2π)[/math]

Circunferencia osculatriz calculada en t=-0,5

%Definimos nuestra catenaria
A=3;
t=linspace(-1,1,1000);
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Particularización del punto P
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A * cosh(t0 / A);
% Derivadas de las componentes de la velocidad y la aceleración
vx = 1;
vy = sinh(t0 / A);
ax = 0;
ay = (1/A) * cosh(t0 / A);
% Parametrización de la velocidad y la tangente
velocidad = cosh(t0 / A);
Tx = 1 / velocidad;
Ty = sinh(t0 / A) / velocidad;
% Parametrización de la vector normal principal
Nx = -Ty;
Ny = Tx;
% Parametrización de la curvatura y  la radio
kappa = (1/A) * sech(t0/A)^2;
R = 1 / kappa;
% Parametrización del centro de curvatura
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;
% Parametrización de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xo = Cx + R * cos(theta);
yo = Cy + R * sin(theta);
%Dibujo
figure
plot(x, y,'Color',[0.3 0.3 0.8],'LineWidth', 3)
hold on
plot(xo, yo,'Color',[0.8 0.3 0.3], 'LineWidth',1)
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor','w')
plot(Cx, Cy,'ro', 'MarkerSize', 4, 'MarkerFaceColor','r')
quiver(x0, y0, Nx, Ny, R/2, 'Color',[0.25 0.75 0.75],'LineWidth', 2)
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Circunferencia Osculatriz calculada en t = -0.5')
legend('Catenaria','Osculatriz','Punto de contacto','Centro','Vector normal')