Mallado 2D de Arco I (Grupo 63)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Mallado 2D de Arco I. Grupo 63
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Nombres María Cocina Sanjuanbenito, Fernando Trocoli de Toro, Rodrigo Sánchez de León Acevedo, Marta Reiter Hernández
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Se considera una placa plana bidimensional en forma de sección longitudinal de un arco, comprendido entre los radios 1 y 2. En ella vamos a tener definidas dos cantidades físicas: la temperatura 𝑇(𝑥,𝑦) en coordenadas cartesianas, y el campo de desplazamientos 𝑢(𝜌, 𝜃) en coordenadas cilíndricas.

Definimos la función temperatura como: 𝑇(𝑥,𝑦) = (𝑥 − 𝑦)^2.

Y el campo de desplazamientos como: 𝑢(𝜌, 𝜃) = 1/5 (𝜌 − 1)𝜌^2 sin𝜃⃗𝑒𝜃

2 Mallado de la placa

Para definir el mallado de la mitad de un anillo circular usaremos dos condiciones: que esté comprendido entre los radios R1=1 y R2=2, y el plano y ≥ |x|. Al estudiar la mitad de un anillo, trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Su representación quedará definida en la región (ρ,θ) ∈ [1,2] × [[math] \frac{\pi}{2},\frac{3π}{2}[/math]].

Para el muestreo, que son las subdivisiones deseadas por unidad en función de ambos ejes, usaremos \(h = 1/10\).

{{matlab|codigo=

h=0.1; r=1:h:2; t=pi/2:h:3*pi/2; %CAMBIO: De 90 a 270 grados [RR,TT]=meshgrid(r,t); x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);

%Representacion mesh(x,y,0*x); view(2); axis equal; axis([-3,1,-3,3]); %Ejes ajustados a la izquierda xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y'); title('Mallado solido');

%Bordes (Adaptados al nuevo rango) hold on plot(2*cos(t),2*sin(t),'k',1*cos(t),1*sin(t),'k',[0 0],[1 2],'k',[0 0],[-2 -1],'k','LineWidth',2); hold off

3 Curvas de nivel de la temperatura (isotermas)

La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen.

La distribución de la temperatura en el sólido para dibujar sus curvas de nivel, viene dado por la función:

[math]T(x,y)=(x-y)^2 [/math]

%2. Temperatura y Gradiente
h=0.1; r=1:h:2; t=0:h:pi;
[RR,TT]=meshgrid(r,t);
x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);

%Calculo
T=(x-y).^2;
dx=2.*(x-y); dy=-2.*(x-y);

%Grafica 2D
subplot(1,2,1);
mesh(x,y,0*x,'EdgeColor',[0 .7 .7],'FaceColor','none'); view(2);
hold on; quiver(x,y,dx,dy,'b','LineWidth',1.5); hold off
axis equal; axis([-3,3,-1,3]); title('Gradiente 2D');

%Grafica 3D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,T); hold on; quiver3(x,y,T,dx,dy,0*x,'k'); hold off
view(3); axis vis3d; title('Gradiente 3D'); colorbar;

A partir del campo escalar, podemos calcular el gradiente de la temperatura [math]\nabla T[/math]. Que indica la dirección en la que aumenta nuestra temperatura. |[math]\nabla T[/math]| nos especificará cuanto aumenta.

Para calcular nuestro gradiente en cilíndricas, usaremos la fórmula:

[math]\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k[/math]

Por lo tanto, el gradiente será:

[math]\nabla T = 2(x-y)\vec i-2(x-y)\vec j[/math]

4 Campo de vectores en el mallado

El campo de vectores [math]\vec u [/math] indica el desplazamiento de los puntos del sólido. En este caso usaremos la fórmula: [math] \vec u = \frac{1}{5}\vec (ρ-1)ρ^2 sen(θ)\vec e_θ [/math].

5 Arco antes y después del desplazamiento

Las imágenes muestran la representación del sólido antes y después de la deformación producida por el campo de desplazamientos [math] \vec u(ρ,θ) [/math].

%2. Temperatura y Gradiente
h=0.1; r=1:h:2; t=0:h:pi;
[RR,TT]=meshgrid(r,t);
x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);

%Calculo
T=(x-y).^2;
dx=2.*(x-y); dy=-2.*(x-y);

%Grafica 2D
subplot(1,2,1);
mesh(x,y,0*x,'EdgeColor',[0 .7 .7],'FaceColor','none'); view(2);
hold on; quiver(x,y,dx,dy,'b','LineWidth',1.5); hold off
axis equal; axis([-3,3,-1,3]); title('Gradiente 2D');

%Grafica 3D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,T); hold on; quiver3(x,y,T,dx,dy,0*x,'k'); hold off
view(3); axis vis3d; title('Gradiente 3D'); colorbar;

6 Divergencia del campo de vectores

6.2 ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? ¿Por qué?

%4. Divergencia
h=0.1; r=1:h:2; t=0:h:pi;
[RR,TT]=meshgrid(r,t);
x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);

div=(1/5).*(RR.^2-RR).*cos(TT); %Formula Divergencia

subplot(1,2,1); surf(x,y,div); view(2); axis([-3,3,-1,3]);
colorbar; title('Divergencia 2D'); xlabel('X'); ylabel('Y');

subplot(1,2,2); surf(x,y,div); view(3); axis([-3,3,-1,3]);
colorbar; title('Divergencia 3D'); axis vis3d;

fprintf('Maximo divergencia: %1.4f \n',max(max(div)));

8 TENSIONES

En un sólido deformable, cuando aplicamos fuerzas externas, experimenta fuerzas internas ejercidas por el propio material, que "luchan" contra esta deformación. Estas fuerzas internas se describen mediante un tensor de tensiones [math]\sigma [/math] que en cada punto indica: cómo el resto del material impide la deformación de la fuerza externa, y en qué dirección actúan estas fuerzas.

Las tensiones se obtienen a partir de la fórmula: [math]\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon (\vec u) [/math] donde I es el tensor identidad y λ,µ son los coeficientes de Lamé.

Si tomamos como valores de µ = λ = 1, nuestra expresión queda:

[math]\sigma = \nabla · \vec u I + 2 \epsilon(\vec u) [/math]

8.1 Tensor de deformaciones

En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos [math] \vec u [/math] determinan las deformaciones a través del tensor de deformaciones:

[math]\epsilon(\vec u) =\frac{\nabla{\vec u}+(\nabla{\vec u})^t}{2}[/math]

que equivale a la parte simétrica del gradiente del campo de desplazamientos.

Para ello se calculan [math]\nabla{\vec u(ρ,θ)}[/math] y [math](\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t[/math]: