Onda longitudinal plana. Grupo 22

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Onda longitudinal plana. Grupo 22
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Irene Delgado Felpeto Ana Sanz García Lucía Reneses Doncel Francisco Javier Vela Cobos Marta Escaso Camacho
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math] \left[ \frac{-1}{2}, \frac{1}{2} \right] \times \left[ 0, 4 \right] [/math].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math] 𝑇(𝑥,𝑦,𝑡) [/math], que depende de las dos variables espaciales [math] (𝑥,𝑦) [/math]
y del tiempo [math] 𝑡 [/math], y los deplazamientos.
De esta forma, si definimos [math] 𝑟_0(𝑥,𝑦) [/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math] (𝑥,𝑦) [/math] de la placa en un
instante de tiempo [math] 𝑡 [/math] viene dada por

[math] \vec{𝑟}(𝑥, 𝑦, 𝑡) = \vec{𝑟_0}(𝑥,𝑦) + \vec{𝑢}(𝑥,𝑦,𝑡) [/math].

Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen
dados por la onda

[math] \vec{𝑢}(𝑥, 𝑦, 𝑡) = \vec{𝑎}cos(\vec{𝑏} ⋅ \vec{𝑟_0} − 𝑐𝑡) [/math],

donde [math] \vec{𝑎} [/math] se conoce como amplitud, [math] \vec{𝑏} [/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math] \frac{𝑐}{|\vec{𝑏}|} [/math] es la velocidad de propagación.
Si [math] \vec{𝑎} [/math] es paralelo a [math] \vec{𝑏} [/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:

[math] \vec{𝑎} = \frac{\vec{𝑖}}{10}, \qquad \vec{𝑏} = \pi\vec{i}, \qquad t = 0 [/math].

En este caso, [math] \vec{𝑢}(𝑥,𝑦,𝑡) = \frac{cos(\pi x)}{10} \vec{i} [/math].

1 Modelado de desplazamientos y tensiones en la placa vibrante.

Primero, se define el campo de desplazamiento sabiendo que este se modela mediante: [math] \vec{𝑢}(𝑥, 𝑦, 𝑡) = \vec{𝑎}cos(\vec{𝑏} ⋅ \vec{𝑟_0} − 𝑐𝑡) [/math].
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales [math] (t = 0) [/math] dadas: [math] \vec{𝑎} = \frac{\vec{𝑖}}{10}, \vec{𝑏} = \pi\vec{i} [/math], este resulta [math] \vec{𝑢}(𝑥,𝑦,𝑡) = \frac{cos(\pi x)}{10} \vec{i} [/math].

Para caracterizar localmente la deformación de la placa, se define el tensor de deformaciones:

[math] ε(\vec{𝑢})= \frac{1}{2}(∇\vec{𝑢}+(∇\vec{𝑢})^T) [/math].

Este tensor, es la parte simétrica de [math] \vec{𝑢} [/math], y mide elongaciones, compresiones, etc. en cada punto de la placa.

Por otro lado, se cuenta con el tensor de tensiones, el cual sirve para materiales elásticos, homogéneos e isotrópicos. Este se relaciona con el anterior mediante la siguiente expresión:

[math] σ = λ(∇·\vec{𝑢})I + 2με [/math],

donde [math] λ [/math] y [math] μ [/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé, los cuales dependen de las propiedades elásticas de cada material; y donde [math] I [/math], es el tensor identidad de [math] R^3 [/math].
Tomando [math] λ = μ = 1 [/math], este tensor se simplifica y queda:

[math] σ = (∇·\vec{𝑢})I + ∇\vec{𝑢}+(∇\vec{𝑢})^T [/math]

1.1 Cálculo de tensiones normales

Para estudiar el efecto de la deformación en cada dirección, se buscan las tensiones normales a los ejes:

Para las del eje [math]x[/math] se elige la posición en la que coinciden la primera fila y la primera columna de la matriz del tensor de tensiones:

[math] σ_{xx} = \vec{i}·σ·\vec{i} \rightarrow (∇·\vec{𝑢})\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{\partial u_{x}}{\partial x} & \frac{\partial u_{x}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{y}}{\partial x} & \frac{\partial u_{y}}{\partial y} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{\partial u_{x}}{\partial x} & \frac{\partial u_{y}}{\partial x} \\ \frac{\partial u_{x}}{\partial y} & \frac{\partial u_{y}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (∇·\vec{𝑢})+\frac{\partial u_{x}}{\partial x}+\frac{\partial u_{x}}{\partial x} & \frac{\partial u_{x}}{\partial y} + \frac{\partial u_{y}}{\partial x} \\ \frac{\partial u_{y}}{\partial x} + \frac{\partial u_{x}}{\partial y} & (∇·\vec{𝑢})+ \frac{\partial u_{y}}{\partial y} + \frac{\partial u_{y}}{\partial y} \end{pmatrix} \rightarrow (∇·\vec{𝑢}) + 2\frac{\partial u_{x}}{\partial x} [/math]

Y para el caso del eje [math]y[/math] se elige la posición en la que coinciden la segunda fila y la segunda columna: [math] σ_{yy} = \vec{j}·σ·\vec{j} = (∇·\vec{𝑢}) + 2\frac{\partial u_{y}}{\partial y} [/math]

En este caso, se tiene: [math] \qquad u_{x} = \frac{1}{10}cos(\pi x), \qquad u_{y} = 0, \qquad [/math] por lo que:

[math] \frac{\partial u_{x}}{\partial x} = -\frac{\pi}{10}sin(\pi x), \qquad \frac{\partial u_{y}}{\partial y} = 0 [/math]

[math] ∇·\vec{𝑢} = \frac{\partial u_{x}}{\partial x} + \frac{\partial u_{y}}{\partial y} = -\frac{\pi}{10}sin(\pi x) [/math]

Así, las tensiones normales quedan:

[math] σ_{xx} = (∇·\vec{𝑢}) + 2\frac{\partial u_{x}}{\partial x} = -\frac{\pi}{10}sin(\pi x) + 2(-\frac{\pi}{10}sin(\pi x)) = -\frac{3\pi}{10}sin(\pi x) [/math]

[math] σ_{yy} = (∇·\vec{𝑢}) + 2\frac{\partial u_{y}}{\partial y} = -\frac{\pi}{10}sin(\pi x) + 0 = -\frac{\pi}{10}sin(\pi x) [/math]

1.2 Código y representación

% Se define la malla de la placa
Nx = 100; Ny = 200;   % resolución
x = linspace(-0.5,0.5,Nx);
y = linspace(0,4,Ny);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Desplazamiento longitudinal:
% u(x,y) = ( (1/10) * cos(pi*x), 0 )
Ux = (1/10) * cos(pi*X);
Uy = zeros(size(X));

% Gradientes de u
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, x, y);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, x, y);

% Tensor de deformaciones epsilon = 1/2 (grad u + grad u^T)
eps_xx = dUx_dx;                 % componente xx
eps_xy = 0.5*(dUx_dy + dUy_dx);  % componente xy
eps_yy = dUy_dy;                 % componente yy

% Divergencia de u
div_u = dUx_dx + dUy_dy;

% Coeficientes de Lamé
lambda = 1; mu = 1;

% Tensor de tensiones sigma = lambda*(div u) I + 2 mu eps
sigma_xx = lambda*div_u + 2*mu*eps_xx;
sigma_yy = lambda*div_u + 2*mu*eps_yy;
sigma_xy = 2*mu*eps_xy;

% Tensiones normales en dirección i y j
sigma_i = sigma_xx;   % i · sigma · i
sigma_j = sigma_yy;   % j · sigma · j

% Gráficas
figure;
subplot(1,2,1);
imagesc(x,y,sigma_i);
axis xy; colorbar;
title('Tensión normal en dirección i (σ_xx)');
xlabel('x'); ylabel('y');

subplot(1,2,2);
imagesc(x,y,sigma_j);
axis xy; colorbar;
title('Tensión normal en dirección j (σ_yy)');
xlabel('x'); ylabel('y');