Onda transversal plana a través de una placa rectangular

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Onda transversal plana a través de una placa rectangular. Grupo 12
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Noelia Calabria Bermejo Paula de Cea Ibáñez Carlota Del Valle Díez Alba García Cruz Ruth Rodríguez Torres
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math](x, y) ∈ [-1/2, 1/2]×[0, 4][/math].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x, y, t)[/math], que depende de las dos variables espaciales [math](x, y)[/math], y del tiempo t, y los desplazamientos [math]\vec{u}(x, y, t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} [/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](x, y)[/math] de la placa en un instante de tiempo t viene dada por [math]\vec{r}(x, y, t)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y, t).[/math] Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda [math]\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}cos((\vec{b}·\vec{r_{0}}(x,y)-ct)),[/math] Donde [math]\vec{a} [/math] se conoce como amplitud, [math]\vec{b} [/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math]\frac{c}{|\vec b|}[/math] es la velocidad de propagación.

Si [math]\vec{a} [/math] es paralelo a [math]\vec{b} [/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:

[math] \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0 [/math]

En este caso, [math]\vec u(x,y)=\frac{\cos(\pi y)}{10}\vec i[/math].

1 Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.

Resultado de ejecución

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

• La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
• En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
• En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
• Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal 
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);

3 Curvas de nivel de la temperatura.

Resultado de ejecución

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura.

El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: [math]\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}[/math]
en este caso sería: [math] T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) [/math]

La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)

clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas

4 Campo de vectores en el mallado del sólido.

Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que [math] ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) [/math] y [math] uy=0 [/math]. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:

Resultado de ejecución

% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);

6 Divergencia [math]∇·\vec{u}[/math]

Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula: [math]\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} [/math] usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en [math]t=0[/math]: [math]\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}[/math]

[math]\ \nabla \cdot \vec u = 0[/math]

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.

Resultado de ejecución

clear;clc;
% Definimos las variables x e y. 
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;

7 Rotacional [math]\left | ∇ \times \vec{u} \right |[/math]

Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: [math]∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}[/math] Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en [math]t=0[/math]: [math]\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}; [/math] [math]∇ × \vec{u}[/math] = [math]\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; [/math]

Buscamos el modulo: [math]|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )[/math]

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas [math] y=0; y=6; y=12 [/math], representadas en amarillo.

Resultado de ejecución

clear;clc;
% Definimos las variables x e y. 
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;

8 Tensor de tensiones

Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el tensor de deformaciones, Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación,
[math]Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2[/math] [math]σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ[/math],

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor [math]∇·\vec{u}[/math]; 1 es el tensor identidad en [math]R^3[/math], y ([math]λ[/math], [math]µ[/math]) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que [math]λ=µ=1[/math]. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector [math]\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)[/math] previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

[math] ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]; [math] ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math]
Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones:

[math]Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]

Con la divergencia del campo hallada previamente, [math]∇·\vec{u}=0[/math], definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

[math]σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]

[math]\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]
[math]\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]
[math]\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0[/math]

Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

9 Tensiones tangenciales al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math]

Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como [math] |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|[/math]. Recordando el resultado obtenido anteriormente, [math]\vec{i}·σ·\vec{i}=0[/math], concluimos que la tensión buscada es igual a [math]σ·\vec{i}[/math]. Continuando el desarrollo,

[math]σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)[/math]

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

Resultado de ejecución

% Definimos las variables
 h=1/5;
 Pi=3.1415;
 x=[-1:h:1];
 y=[0:h:12];
 [Mx,My]=meshgrid(x,y);
 % Establecemos los campos a representar
 Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
 quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
 % Le damos formato a la gráfica
 title('Tensiones tangenciales al eje i');
 axis equal;
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 axis([-5,5,-1,13]);
 %proyectamos la gráfica
 view(2)

10 Tensiones tangenciales al plano ortogonal a [math]\vec{j}[/math]

Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como [math] |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|[/math]. Recordando el resultado obtenido anteriormente, [math]\vec{i}·σ·\vec{i}=0[/math], concluimos que la tensión buscada es igual a [math]σ·\vec{i}[/math]. Continuando el desarrollo,

[math]σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)[/math]

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

Resultado de ejecución

% Definimos las variables
 h=1/5;
 Pi=3.1415;
 x=[-1:h:1];
 y=[0:h:12];
 [Mx,My]=meshgrid(x,y);
 % Establecemos los campos a representar
 Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
 quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
 % Le damos formato a la gráfica
 title('Tensiones tangenciales al eje i');
 axis equal;
 xlabel('Eje X');
 ylabel('Eje Y');
 axis([-5,5,-1,13]);
 %proyectamos la gráfica
 view(2)