Coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 10)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Coordenadas cilíndricas parabólicas. Grupo 10 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Andrés Sanzo Fernández, María Hernández Gómez, Rebeca Garcia Paz, Alejandro Polo González, Celia Bolivar Illana |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Coordenadas Cilíndricas Parabólicas
Introducción
En este trabajo estudiamos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil cuando aparecen geometrías de tipo parabólico en el análisis de campos físicos.
Este tipo de coordenadas permite simplificar la descripción matemática de diversos problemas, especialmente aquellos relacionados con potenciales, distribuciones simétricas o configuraciones donde las parábolas juegan un papel fundamental.
El sistema se construye extendiendo al espacio tridimensional un cambio de coordenadas parabólicas definido originalmente en el plano. Su relación con las coordenadas cartesianas viene dada por:
Contenido
1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas
1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)
Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:
- Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = wv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
- Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ x_2 = uw \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
- Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
[math]
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
[/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))
1.2 Gráficas y códigos MATLAB
1.2.1 Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc
figure;
hold on;
%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v
%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);
%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'r', 'LineWidth', 1.5);
%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
1.2.2 Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);
% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;
% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;
% Crear una figura combinada
figure;
% Superficie de línea coordenada de u (color verde)
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), ...
'FaceAlpha', 0.5, 'FaceColor', 'g');
hold on;
% Superficie de línea coordenada de v (color verde)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), ...
'FaceAlpha', 0.5, 'FaceColor', 'g');
% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
1.2.3 Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);
% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;
% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0
% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0
% Crear una figura combinada
figure;
% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;
% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);
% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;2 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)
2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas:
1. Derivada respecto a \(u\):
[math]
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
[/math]
2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}. \end{aligned} [/math]
3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]
2.2 Factores de Escala
Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:
1. Para \(\gamma'_u\)→
[math]
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
[/math]
2. Para \(\gamma'_v\)→
[math]
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
[/math]
3. Para \(\gamma'_z\)→
[math]
h_z = |\gamma'_z| =1
[/math]
2.3 Vectores Tangentes
Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad calculados anteriormente:
1. [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math]
2. [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math]
3. [math]\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]
2.4 Comprobación de Ortonormalidad y Orientación
Para comprobar que estos vectores forman una base ortonormal:
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]
Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores unitarios.
En cuanto a la orientación, tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]
La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector.
Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.
2.5 Representación Gráfica
%Lineas Coordenadas
figure;
hold on;
%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v
%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);
%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'r', 'LineWidth', 1.5);
%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;
%Vectores Tangentes
%Puntos de interes
u=1;
v=1;
%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;
%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v
%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'y','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;
hold off;
