Mallado 2D de Arco I (Grupo 63)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Mallado 2D de Arco I. Grupo 63
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Nombres María Cocina Sanjuanbenito, Fernando Trocoli de Toro, Rodrigo Sánchez de León Acevedo, Marta Reiter Hernández
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Se considera una placa plana bidimensional en forma de sección longitudinal de un arco, comprendido entre los radios 1 y 2. En ella vamos a tener definidas dos cantidades físicas: la temperatura 𝑇(𝑥,𝑦) en coordenadas cartesianas, y el campo de desplazamientos 𝑢(𝜌, 𝜃) en coordenadas cilíndricas.

Definimos la función temperatura como: 𝑇(𝑥,𝑦) = (𝑥 − 𝑦)^2.

Y el campo de desplazamientos como: 𝑢(𝜌, 𝜃) = 1/5 (𝜌 − 1)𝜌^2 sin𝜃⃗𝑒𝜃

2 Mallado de la placa

Para definir el mallado de la mitad de un anillo circular usaremos dos condiciones: que esté comprendido entre los radios R1=1 y R2=2, y el plano y ≥ |x|. Al estudiar la mitad de un anillo, trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Su representación quedará definida en la región (ρ,θ) ∈ [1,2] × [[math] \frac{\pi}{2},\frac{3π}{2}[/math]].

Para el muestreo, que son las subdivisiones deseadas por unidad en función de ambos ejes, usaremos \(h = 1/10\).

%% CÓDIGO TRABAJO M (Estilo Visual Idéntico a la Foto)
clc; clear; 
figure(1); clf; % Importante: Limpia la ventana de figuras antes de dibujar

% 1. Definición de variables (Estructura de tu profesor)
h = 0.1;           % Paso de muestreo (Letra M/K)
r = 1:h:2;         % Radio de 1 a 2
tt = pi/2:h:(3*pi)/2;       % Angulo de 0 a pi (Semicírculo completo)

% 2. Generación del Mallado
[RR, TT] = meshgrid(r, tt);
x = RR .* cos(TT);
y = RR .* sin(TT);

% 3. Representación Gráfica (Con estilo forzado)
% 'EdgeColor': fuerza el color cian ([0 0.6 0.6]) similar a tu foto
% 'FaceColor', 'none': asegura que no rellene los huecos
mesh(x, y, 0*x, 'EdgeColor', [0 0.7 0.7], 'FaceColor', 'none'); 

view(2);       % Vista superior 2D
axis equal;    % Para que el semicírculo no parezca un óvalo
axis([-2.5 2.5 -0.5 2.5]); % Límites ajustados para centrarlo
grid on;

% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Representación en 2D de la placa plana (Arco I)');

% 4. DIBUJAR EL BORDE NEGRO (Contorno)
hold on;
% Borde curvo exterior (Radio 2)
plot(2*cos(tt), 2*sin(tt), 'k', 'LineWidth', 2);
% Borde curvo interior (Radio 1)
plot(1*cos(tt), 1*sin(tt), 'k', 'LineWidth', 2);
% Cierre recto derecho (theta = 0)
plot([1 2], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
% Cierre recto izquierdo (theta = pi) - Nota: cos(pi)=-1, sin(pi)=0
plot([-2 -1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
hold off;

3 Curvas de nivel de la temperatura (isotermas)

La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen.

La distribución de la temperatura en el sólido para dibujar sus curvas de nivel, viene dado por la función:

[math]T(x,y)=(x-y)^2 [/math]

%% Gradiente de la temperatura (Adaptado al Trabajo M)

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radio (de 1 a 2)
r = 1:h:2;

% Angulo (Semicírculo: de 0 a pi)
% Nota: En el antiguo usaban linspace, aquí usamos paso h para mantener proporción
t = 0:h:pi;

% Mallado y parametrización
[rr,tt] = meshgrid(r,t);
xx = rr.*cos(tt);
yy = rr.*sin(tt);

% Temperatura T(x,y) = (x-y)^2
Temperatura = (xx - yy).^2;

% Calculo del Gradiente (Derivadas parciales)
% dT/dx = 2*(x-y)
GradX = 2 .* (xx - yy);
% dT/dy = -2*(x-y)
GradY = -2 .* (xx - yy);

% --- DIBUJO DE LAS GRÁFICAS ---
figure(2); clf; % Limpiamos figura anterior
hold on

% GRÁFICA 3D (Derecha) - Superficie + Vectores
subplot(1,2,2)
% Dibujamos la superficie de temperatura
surf(xx,yy,Temperatura) 
hold on
% Dibujamos los vectores del gradiente en 3D
% quiver3(x, y, z, u, v, w) -> w es 0 porque el vector 'vive' en el plano xy
quiver3(xx, yy, Temperatura, GradX, GradY, zeros(size(xx)), 'k'); 

% Ajustes visuales 3D
axis([-2.5, 2.5, 0, 3, 0, 10]); % Ajustamos Z hasta 10 porque T crece bastante
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
colorbar; 

% GRÁFICA 2D (Izquierda) - Malla plana + Vectores
subplot(1,2,1)
% Dibujamos la malla plana (Estilo del año pasado con borde)
mesh(xx,yy,0.*xx, 'EdgeColor', [0 0.7 0.7], 'FaceColor', 'none') 
view(2)

% Ajustes visuales 2D
axis equal
axis([-3, 3, -1, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')

% Dibujamos los vectores del gradiente en plano
hold on
quiver(xx, yy, GradX, GradY, 'b') % 'b' para color azul
hold off

% Añadimos el contorno negro al 2D para que quede perfecto
hold on
plot(2*cos(t), 2*sin(t), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(1*cos(t), 1*sin(t), 'k', 'LineWidth', 2);
plot([1 2], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([-2 -1], [0 0], 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

A partir del campo escalar, podemos calcular el gradiente de la temperatura [math]\nabla T[/math]. Que indica la dirección en la que aumenta nuestra temperatura. |[math]\nabla T[/math]| nos especificará cuanto aumenta.

Para calcular nuestro gradiente en cilíndricas, usaremos la fórmula:

[math]\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k[/math]

Por lo tanto, el gradiente será:

[math]\nabla T = 2(x-y)\vec i-2(x-y)\vec j[/math]

4 Campo de vectores en el mallado

El campo de vectores [math]\vec u [/math] indica el desplazamiento de los puntos del sólido. En este caso usaremos: [math] \vec u = \frac{1}{5}\vec (ρ-1)ρ^2 sen(θ)\vec e_θ [/math].

5 Arco antes y después del desplazamiento

%% Desplazamiento de la placa (Adaptado al estilo antiguo) clc; clear; close all;

% 1. Definición del Mallado h = 0.1;  % Paso de muestreo rr = 1:h:2;  % Radio de 1 a 2 tt = 0:h:pi;  % Semicírculo (0 a pi) [RR,TT] = meshgrid(rr,tt); x = RR.*cos(TT); y = RR.*sin(TT);

% --- FIGURA 1: Placa Original y Placa Desplazada (Separadas) --- figure(1);

% SUBPLOT 1: Sólido antes de los desplazamientos (Original) subplot(1,2,1) i = mesh(x,y,0*x);  % Malla plana en Z=0 view(2)  % Vista superior set(i,'EdgeColor','g'); % Color VERDE ('g') como en el ejemplo antiguo axis([-3,3,-1,3])  % Ejes ajustados xlabel('Eje X') ylabel('Eje Y') title('Placa no desplazada','Fontsize',14); axis equal; grid on;

% Cálculo del Desplazamiento (Trabajo M) % u_theta = 1/5 * (rho-1) * rho^2 * sin(theta) u_theta = (1/5) .* (RR - 1) .* (RR.^2) .* sin(TT);

% Transformación a Cartesianas (A y B en el código antiguo) % A = ux, B = uy A = -u_theta .* sin(TT); % ux = -u_theta * sin(theta) B = u_theta .* cos(TT); % uy = u_theta * cos(theta)

% Coordenadas Deformadas X = x + A; Y = y + B;

% SUBPLOT 2: Sólido después de los desplazamientos (Deformada) subplot(1,2,2) j = mesh(X,Y,0*X); view(2) set(j,'EdgeColor','r'); % Color ROJO ('r') axis([-3,3,-1,3]) xlabel('Eje X') ylabel('Eje Y') title('Placa desplazada','Fontsize',14); axis equal; grid on;

% --- FIGURA 2: Comparación (Superposición) --- figure(2); hold on

% 1. Dibujamos la Desplazada (Roja) j = mesh(X,Y,0*X); set(j,'EdgeColor','r');

% 2. Dibujamos la Original (Verde) encima/debajo i = mesh(x,y,0*x); set(i,'EdgeColor','g');

% Ajustes finales axis([-3,3,-1,3]) view(2) xlabel('Eje X') ylabel('Eje Y') title('Desplazamiento de la placa (Comparación)','Fontsize',14); axis equal; grid on; hold off }}

6 Divergencia del campo de vectores

6.2 ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? ¿Por qué?

%% Divergencia (Adaptado al Trabajo M) clc; clear; figure(4); clf;

% Paso de muestreo h = 0.1;

% Coordenadas polares (Radio 1 a 2, Semicírculo 0 a pi) rr = 1:h:2; tt = 0:h:pi;

% Mallado y parametrización [RR,TT] = meshgrid(rr,tt); x = RR.*cos(TT); y = RR.*sin(TT);

% --- FUNCIÓN DE DIVERGENCIA (Trabajo M) --- % Formula: div = 1/5 * (rho^2 - rho) * cos(theta) div = (1/5) .* (RR.^2 - RR) .* cos(TT);

% --- GRÁFICA EN 3D (Derecha) --- subplot(1,2,2) surf(x,y,div)  % Superficie con altura = divergencia axis([-3,3,-1,3]);  % Límites colorbar;  % Barra de colores axis vis3d view(3)  % Vista 3D title('Divergencia 3D') xlabel('Eje X') ylabel('Eje Y') zlabel('Div')

% --- GRÁFICA EN 2D (Izquierda) --- subplot(1,2,1) surf(x,y,div)  % Superficie vista desde arriba axis([-3,3,-1,3]); colorbar; view(2)  % Vista superior obligatoria title('Divergencia 2D') xlabel('Eje X') ylabel('Eje Y')

% Cálculo y muestra del Máximo (Como en el código antiguo) maximo = max(max(div)); minimo = min(min(div)); % Calculamos también el mínimo porque hay valores negativos

fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.4f \n', maximo); fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.4f \n', minimo);